Variables aléatoires réelles : cours de Première spécialité
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une variable aléatoire réelle X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire : c'est une fonction définie sur l'univers 12.
{X = a} est l'événement formé des issues dont l'image vaut a ; sa probabilité se note P(X = a)1.
La loi de probabilité de X est le tableau des valeurs xi et des probabilités P(X=xi) ; ces probabilités s'additionnent pour donner 12.
Pour trouver une loi : lister les valeurs possibles, calculer chaque probabilité, vérifier que le total fait 1.
Pour P(X⩽a), on additionne les probabilités de toutes les valeurs inférieures ou égales à a.
Pourquoi donner un nombre au hasard ?
Jusqu'ici, tu as décrit des expériences aléatoires avec des mots : « on obtient un nombre pair », « la pièce tombe sur pile », « la boule est rouge ». Ces descriptions suffisent pour calculer une probabilité, mais elles deviennent lourdes dès qu'on veut comparer des situations, parler de gains ou de pertes, ou résumer une expérience en quelques nombres.
La solution consiste à attacher un nombre au résultat de l'expérience. Le programme présente cette idée comme la modélisation du résultat numérique d'une expérience aléatoire 1. Un joueur lance un dé : on ne s'intéresse plus seulement à la face obtenue, mais à l'argent qu'il gagne ou perd. Ce nombre dépend du hasard, d'où le nom de variable aléatoire.
Voici des exemples de grandeurs qui dépendent du hasard : la valeur d'un dé entre 1 et 6, le côté d'une pièce dans un pile ou face, le gain d'un joueur dans un jeu de hasard 4. Dans ce cours, tu vas apprendre à les manier proprement : les définir, écrire les événements qui leur sont liés, dresser leur loi de probabilité.
Définition d'une variable aléatoire réelle
Le mot « variable » peut tromper : X n'est pas un nombre inconnu à trouver comme dans une équation. C'est une règle de lecture de l'expérience. Avant de lancer le dé, on ne sait pas quelle valeur X prendra ; une fois le dé lancé, X prend une valeur précise, déterminée par l'issue. Le mot « aléatoire » rappelle que cette valeur dépend du hasard.
Notations : {X = a}, {X ≤ a}, P(X = a)
Le programme demande d'interpréter en situation et d'utiliser les notations {X=a}, {X⩽a}, P(X=a) et P(X⩽a)1. Ces écritures sont des raccourcis pour des événements que tu sais déjà décrire.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire
Une idée à retenir : la variable aléatoire permet de transporter la probabilité de l'univers vers l'ensemble des nombres réels. On ne regarde plus les issues elles-mêmes, seulement les valeurs qu'elles produisent et la probabilité de chaque valeur 3. C'est ce qui rend les comparaisons possibles : deux expériences très différentes peuvent avoir la même loi.
Démonstration · Pourquoi la somme vaut 1
Chaque issue de l'univers a une image par X, et une seule. Les événements {X=x1},…,{X=xn} forment donc une partition de l'univers : deux à deux disjoints, et leur réunion est Ω tout entier. La probabilité de l'univers étant 1, la somme de leurs probabilités vaut 1.
Méthode pour déterminer une loi
Définir XDire en une phrase ce que X mesure.
Lister les valeursNoter toutes les valeurs possibles de X.
Calculer P(X = x)Décrire {X = x} puis compter les issues.
VérifierLa somme des probabilités doit valoir 1.
Déterminer la loi d'une variable aléatoire · Les gestes pour dresser une loi de probabilité.
Somme de deux dés : une loi à plusieurs issues par valeur
Quand plusieurs issues donnent la même valeur, il faut les compter avec soin. L'exemple classique est la somme de deux dés. On lance deux dés équilibrés à six faces, discernables (un rouge, un bleu). L'univers contient 6×6=36 couples équiprobables. Soit S la somme des deux faces. Les valeurs possibles vont de 2 à 12.
Loi de la somme S de deux dés
Somme S
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nombre de couples
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
P(S = s)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Loi de la somme S de deux dés · Les 36 couples sont équiprobables ; les sommes ne le sont pas.
Quand la variable dépend de plusieurs épreuves
Le programme évoque des exemples de succession de plusieurs épreuves indépendantes 1. Dans ce cas, tu retrouves tes outils de probabilités : arbre pondéré, indépendance, probabilités conditionnelles. La variable aléatoire n'est qu'une façon d'étiqueter chaque branche par un nombre.
Modéliser et interpréter : à quoi sert la loi ?
Modéliser une situation à l'aide d'une variable aléatoire, puis déterminer sa loi de probabilité, voilà deux capacités attendues dans le programme 1. Modéliser, c'est choisir ce que l'on mesure : le gain, le nombre de succès, le nombre de tirages avant un événement…
Une fois la loi connue, on peut répondre à toutes les questions sur les valeurs de X : probabilité de gagner, de perdre, d'obtenir au moins une valeur donnée. La loi sert aussi de point de départ pour résumer l'expérience par des nombres. Le programme cite l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire 1 : c'est l'objet de la suite du chapitre, qui prolonge directement ce cours.
Les erreurs à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Une urne et un gain
★☆☆Environ 8 min
Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Soit X le gain en euros : X=1 si la boule est rouge, X=3 si elle est verte et X=−6 si elle est bleue.
Donne la loi de probabilité de X.
Calcule P(X⩽1).
Indice 1
Les 10 boules sont équiprobables : compte les issues favorables à chaque valeur.
Indice 2
{X⩽1} regroupe plusieurs valeurs de X.
Voir la correction pas à pas
Les valeurs possibles sont −6, 1 et 3, associées respectivement aux boules bleues, rouges et vertes.
P(X=−6)=102, P(X=1)=105, P(X=3)=103.
Contrôle : 102+5+3=1.
{X⩽1} contient les valeurs −6 et 1 : P(X⩽1)=102+105=107=0,7.
La valeur 3 est exclue de {X⩽1} : on additionne les probabilités des seules valeurs inférieures ou égales à 1.
Exercice 2 Trouver une probabilité manquante
★★☆Environ 6 min
Une variable aléatoire X prend les valeurs −1, 0 et 2. On sait que P(X=−1)=0,2 et P(X=2)=0,5.
Calcule P(X=0).
Calcule P(X⩾0).
Indice 1
Utilise la somme des probabilités de la loi.
Indice 2
{X⩾0} est le contraire de {X=−1}.
Voir la correction pas à pas
La somme des probabilités vaut 1 : P(X=0)=1−0,2−0,5.
Donc P(X=0)=0,3.
P(X⩾0)=P(X=0)+P(X=2)=0,3+0,5=0,8.
Vérification par l'événement contraire : 1−P(X=−1)=1−0,2=0,8.
Quand une seule probabilité manque dans un tableau, elle se déduit de la somme égale à 1.
Exercice 3 Deux tirs au panier
★★★Environ 12 min
Un joueur tente deux lancers francs indépendants. À chaque lancer, il marque avec la probabilité 0,7. Il reçoit 2 points par panier marqué, et perd 1 point par lancer raté. Soit Y le total de points.
Quelles valeurs Y peut-il prendre ?
Détermine la loi de Y.
Calcule P(Y>0).
Indice 1
Chaque lancer rapporte soit +2, soit −1. Additionne sur les deux lancers.
Indice 2
Utilise un arbre : multiplie les probabilités le long des branches, additionne celles des chemins de même valeur.
Voir la correction pas à pas
Deux paniers : Y=2+2=4. Un panier et un raté : Y=2−1=1. Deux ratés : Y=−1−1=−2. Valeurs possibles : −2, 1, 4.
P(Y=4)=0,7×0,7=0,49.
P(Y=−2)=0,3×0,3=0,09.
P(Y=1) : deux chemins disjoints, 0,7×0,3+0,3×0,7=0,42.
Contrôle : 0,09+0,42+0,49=1.
P(Y>0)=P(Y=1)+P(Y=4)=0,42+0,49=0,91.
Le chemin « un panier, un raté » existe dans deux ordres : oublier l'un des deux fausse toute la loi, comme le contrôle de la somme le montre.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'univers et à valeurs réelles. Ce n'est pas une probabilité : ses valeurs peuvent être négatives ou supérieures à 1, contrairement à une probabilité.
{X=1} est l'événement « la face est paire » : trois issues sur six, soit 21. Répondre 61 revient à ne compter qu'une face, alors que plusieurs issues ont la même image.
Vrai : les événements {X=xi} forment une partition de l'univers, donc leurs probabilités s'additionnent pour donner 1. Si ton total est différent, ce n'est pas la propriété qui est en défaut : il manque une valeur de probabilité non nulle dans ton tableau, ou un calcul est faux.
{X⩽1} regroupe les valeurs 0 et 1 : 0,1+0,4=0,5. La réponse 0,4 ne compte que la valeur 1 et oublie la valeur 0.
Une fonction associe à chaque élément un seul réel, mais plusieurs éléments peuvent partager la même image. P(X=a) est une probabilité, donc dans [0;1]. Les valeurs de X peuvent être négatives, par exemple un gain algébrique ; et une issue ne peut pas avoir deux images, sinon X ne serait pas une fonction.
Il y a 6 couples de somme 7 sur 36 couples équiprobables : 366≈0,167. Dire 111 serait supposer que les 11 sommes possibles sont équiprobables, ce qui est faux.
Trois issues contiennent exactement deux piles : (P,P,F), (P,F,P), (F,P,P). Sur 8 issues équiprobables, on obtient 83. La réponse 41 oublie des positions possibles du face.
Faux : on additionne les probabilitésP(X=xi) des valeurs xi⩽2, pas les valeurs elles-mêmes. Additionner les valeurs ne donne aucune probabilité.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre une issue et une valeur de la variable aléatoire ?
L'issue décrit ce qui se passe dans l'expérience (la face du dé, la liste des résultats des lancers). La valeur est le nombre que la variable aléatoire associe à cette issue 2. Plusieurs issues peuvent donner la même valeur : c'est ce qui rend utile de regrouper les issues dans l'événement {X=a}.
À quoi sert une variable aléatoire ?
Elle permet de résumer une expérience par une grandeur numérique : un gain, un nombre de succès, une somme. On peut ensuite comparer des situations, étudier des jeux de hasard et, dans la suite du chapitre, calculer l'espérance, la variance et l'écart type 1.
Comment savoir si ma loi de probabilité est correcte ?
Deux contrôles rapides : chaque probabilité est entre 0 et 1, et leur somme vaut 1 2. Si l'un des deux échoue, cherche une valeur oubliée, une issue comptée deux fois ou une erreur de dénombrement.
Que signifie concrètement P(X ≤ a) ?
C'est la probabilité de l'événement {X⩽a}, formé de toutes les issues dont la valeur est inférieure ou égale à a1. Pour la calculer, tu additionnes P(X=xi) pour toutes les valeurs xi⩽a de la loi.
Une variable aléatoire peut-elle prendre des valeurs négatives ?
Oui. Une variable aléatoire réelle est à valeurs réelles 1, donc négatives, nulles ou positives. Un gain algébrique négatif représente une perte 2. Ce sont ses probabilités qui sont toujours positives ou nulles.