Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Variables aléatoires réelles : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une variable aléatoire réelle X associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience ; {X = a} est l'événement formé des issues qui donnent la valeur a.
Pour trouver la loi de X : lister les valeurs possibles, calculer chaque P(X = xi), puis vérifier que la somme vaut 1.
Pour P(X ≤ a) ou P(X ≥ a), additionne les probabilités des valeurs concernées, sans en oublier.
Pour un gain, la valeur de X est algébrique : une perte est un nombre négatif.
Avec plusieurs épreuves indépendantes, multiplie les probabilités le long d'une branche et additionne les branches qui donnent la même valeur de X.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font manipuler la variable aléatoire réelle : un outil qui transforme le résultat d'une expérience en nombre, pour pouvoir calculer dessus. Les situations sont variées (dés, pièces, urnes, jeux d'argent, tirs) et la difficulté monte peu à peu. Cherche chaque énoncé sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta rédaction avec la correction étape par étape.

Rappel de rédaction

Les exercices

Exercice 1 Le carré d'un dé

★☆☆Environ 5 min

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On note $X$ le carré du nombre obtenu.

Donne les valeurs prises par $X$ .
Détermine la loi de probabilité de $X$ .
Calcule $P(X \leqslant 10)$ .

Indice 1

Les six issues sont équiprobables : chacune a pour probabilité $\frac{1}{6}$ .

Indice 2

$X \leqslant 10$ : quelles valeurs de $X$ sont inférieures ou égales à 10 ?

Voir la correction pas à pas

Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. Leurs carrés sont 1, 4, 9, 16, 25, 36 : ce sont les valeurs de $X$ .
Chaque nombre du dé sort avec la probabilité $\frac{1}{6}$ et donne une valeur de $X$ différente. Donc $P(X = x) = \frac{1}{6}$ pour chacune des six valeurs.
Vérification : $6 \times \frac{1}{6} = 1$ .
Les valeurs inférieures ou égales à 10 sont 1, 4 et 9. Donc $P(X \leqslant 10) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ .

Ici, $X$ prend des valeurs toutes distinctes, donc la loi est simple. Quand deux issues donnent la même valeur, il faut additionner leurs probabilités.

Exercice 2 Nombre de piles sur deux lancers

★☆☆Environ 6 min

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus.

Écris les issues de l'expérience.
Donne la loi de $X$ .
Calcule $P(X \geqslant 1)$ .

Indice 1

Il y a quatre issues équiprobables : PP, PF, FP, FF.

Indice 2

L'événement $\{X \geqslant 1\}$ a un événement contraire très simple.

Voir la correction pas à pas

Les issues sont PP, PF, FP, FF, chacune de probabilité $\frac{1}{4}$ .
$X$ prend les valeurs 0, 1 et 2.
$\{X = 0\}$ = {FF}, donc $P(X = 0) = \frac{1}{4}$ . $\{X = 1\}$ = {PF, FP}, donc $P(X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . $\{X = 2\}$ = {PP}, donc $P(X = 2) = \frac{1}{4}$ .
La somme vaut $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$ .
$P(X \geqslant 1) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{3}{4}$ . On retrouve ce résultat par $1 - P(X = 0)$ .

La valeur 1 est la plus probable parce que deux issues lui correspondent. C'est le réflexe à avoir : compter les issues de chaque événement $\{X = x_i\}$ .

Exercice 3 La somme de deux dés

★★☆Environ 10 min

On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un bleu. On note $S$ la somme des deux nombres obtenus.

Combien y a-t-il d'issues équiprobables ?
Quelles valeurs $S$ peut-elle prendre ?
Calcule $P(S = 8)$ .

Indice 1

Une issue est un couple (nombre du dé rouge ; nombre du dé bleu).

Indice 2

Liste les couples dont la somme vaut 8, en partant de (2 ; 6).

Voir la correction pas à pas

Chaque dé a 6 faces et les dés sont distincts : il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables.
La plus petite somme est $1 + 1 = 2$ , la plus grande est $6 + 6 = 12$ . $S$ prend donc toutes les valeurs entières de 2 à 12.
Les couples de somme 8 sont (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2) : il y en a 5.
$P(S = 8) = \frac{5}{36}$ , soit environ $0{,}139$ .

Les valeurs de $S$ ne sont pas équiprobables : 7 est la somme la plus fréquente (6 couples) alors que 2 et 12 n'ont qu'un seul couple. Compter les couples est la seule méthode fiable.

Exercice 4 Trouver une probabilité manquante

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire $X$ a la loi suivante :

$x_i$	$-2$	$0$	$3$	$5$
$P(X = x_i)$	$0{,}1$	$a$	$0{,}4$	$0{,}25$

Calcule $a$ .
Calcule $P(X \leqslant 0)$ .

Indice 1

Que vaut la somme des probabilités d'une loi ?

Voir la correction pas à pas

La somme des probabilités vaut 1 : $0{,}1 + a + 0{,}4 + 0{,}25 = 1$ .
Donc $a = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$ .
Les valeurs inférieures ou égales à 0 sont $-2$ et $0$ : $P(X \leqslant 0) = 0{,}1 + 0{,}25 = 0{,}35$ .

Attention à la deuxième question : la valeur négative $-2$ compte bien parmi les valeurs inférieures ou égales à 0. La réponse demandée ici est $a$ .

Exercice 5 Le jeu de l'urne

★★☆Environ 10 min

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 2 rouges, 3 vertes et 5 blanches. Un joueur tire une boule au hasard. Si elle est rouge, il gagne 8 euros ; si elle est verte, il gagne 2 euros ; si elle est blanche, il perd 3 euros. On note $G$ le gain algébrique du joueur.

Donne les valeurs de $G$ et sa loi de probabilité.
Calcule la probabilité que le joueur ait un gain positif ou nul.

Indice 1

Une perte se note avec un nombre négatif.

Indice 2

Chaque couleur donne une seule valeur de $G$ .

Voir la correction pas à pas

Les valeurs de $G$ sont $8$ , $2$ et $-3$ .
$P(G = 8) = \frac{2}{10} = 0{,}2$ , $P(G = 2) = \frac{3}{10} = 0{,}3$ , $P(G = -3) = \frac{5}{10} = 0{,}5$ .
Somme : $0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5 = 1$ .
Un gain positif ou nul correspond à $G \geqslant 0$ , c'est-à-dire $G = 8$ ou $G = 2$ : $P(G \geqslant 0) = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5$ .

Le joueur gagne de l'argent une fois sur deux, mais les gains et la perte n'ont pas la même taille. Juger si un jeu est favorable demande l'espérance, que tu verras dans la suite du chapitre.

Exercice 6 Tirage sans remise

★★☆Environ 10 min

Une boîte contient 3 jetons rouges et 2 jetons bleus. On tire successivement et sans remise deux jetons. On note $X$ le nombre de jetons rouges obtenus.

Quelles valeurs $X$ peut-elle prendre ?
Calcule $P(X = 2)$ .
Détermine la loi complète de $X$ .

Indice 1

Dessine un arbre : à la deuxième branche, la composition de la boîte a changé.

Indice 2

Pour $X = 0$ , il faut deux jetons bleus.

Voir la correction pas à pas

On tire deux jetons : $X$ prend les valeurs 0, 1 et 2.
Pour $X = 2$ : un rouge au premier tirage (probabilité $\frac{3}{5}$ ), puis un rouge parmi les 4 jetons restants dont 2 rouges (probabilité $\frac{2}{4}$ ). Donc $P(X = 2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ .
Pour $X = 0$ : bleu puis bleu, $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$ .
Pour $X = 1$ : rouge puis bleu, $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ , ou bleu puis rouge, $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$ . Total $\frac{6}{10}$ .
Contrôle : $\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = 1$ .

Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants : à chaque branche, on utilise la probabilité conditionnelle donnée par la composition restante de la boîte.

Exercice 7 Deux tirs indépendants

★★☆Environ 10 min

Un joueur de basket réussit un lancer franc avec la probabilité $0{,}7$ . Il tente deux lancers, supposés indépendants. On note $X$ le nombre de lancers réussis.

Donne la loi de $X$ .
Calcule $P(X = 1)$ .

Indice 1

Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long d'une branche.

Indice 2

$X = 1$ peut arriver de deux façons.

Voir la correction pas à pas

Notons R « réussi » (0,7) et E « échoué » (0,3). Les issues sont RR, RE, ER, EE.
$P(X = 2) = 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49$ et $P(X = 0) = 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09$ .
$X = 1$ pour RE ou ER : $P(X = 1) = 0{,}7 \times 0{,}3 + 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}42$ .
Contrôle : $0{,}09 + 0{,}42 + 0{,}49 = 1$ .

L'erreur classique est d'oublier la deuxième façon d'obtenir $X = 1$ . Le contrôle de la somme à 1 la détecte immédiatement.

Exercice 8 Une probabilité conditionnelle avec X

★★★Environ 10 min

On reprend le lancer de deux pièces équilibrées, où $X$ est le nombre de piles. Sachant qu'au moins un pile est sorti, quelle est la probabilité d'avoir obtenu deux piles ? Autrement dit, calcule $P_{\{X \geqslant 1\}}(X = 2)$ .

Indice 1

Utilise la définition : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Indice 2

Si $X = 2$ , alors on a forcément $X \geqslant 1$ .

Voir la correction pas à pas

Posons $A = \{X \geqslant 1\}$ et $B = \{X = 2\}$ . On a $P(A) = \frac{3}{4}$ .
Comme $X = 2$ implique $X \geqslant 1$ , on a $A \cap B = B$ , donc $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ .
$P_A(B) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ .

Le résultat est $\frac{1}{3}$ et non $\frac{1}{2}$ : savoir qu'un pile au moins est sorti écarte seulement l'issue FF, il reste trois issues équiprobables dont une seule est PP.

Exercice 9 Transformer une variable aléatoire

★★★Environ 12 min

Une variable aléatoire $X$ a la loi suivante :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}4$	$0{,}2$

On définit $Y = 3X - 2$ .

Donne les valeurs de $Y$ et sa loi.
Calcule $P(Y \geqslant 4)$ .

Indice 1

$Y$ est elle aussi une variable aléatoire : à chaque issue, elle associe $3X - 2$ .

Indice 2

$Y \geqslant 4$ équivaut à $3X - 2 \geqslant 4$ , donc à $X \geqslant 2$ .

Voir la correction pas à pas

Calcule $Y$ pour chaque valeur de $X$ : $0 \to -2$ , $1 \to 1$ , $2 \to 4$ , $3 \to 7$ .
Les valeurs de $X$ étant distinctes et la transformation étant strictement croissante, les probabilités se conservent : $P(Y = -2) = 0{,}1$ , $P(Y = 1) = 0{,}3$ , $P(Y = 4) = 0{,}4$ , $P(Y = 7) = 0{,}2$ .
$\{Y \geqslant 4\}$ = $\{Y = 4\} \cup \{Y = 7\}$ , donc $P(Y \geqslant 4) = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6$ .
Vérification par $X$ : $3X - 2 \geqslant 4 \iff X \geqslant 2$ , d'où $P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}6$ .

Une variable aléatoire reste une fonction : en composant avec une autre fonction, on obtient une nouvelle variable aléatoire dont on peut écrire la loi. Si deux valeurs de $X$ donnaient la même valeur de $Y$ , il faudrait additionner leurs probabilités.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si j'ai oublié une valeur de X dans ma loi ?

Additionne toutes les probabilités de ton tableau : la somme doit valoir 1 ². Si elle est inférieure, il manque une valeur ou une probabilité est trop petite ; si elle est supérieure, une issue a été comptée deux fois. Fais ce contrôle à chaque exercice, il prend dix secondes.

Quelle est la différence entre P(X = a) et P(X ≤ a) ?

$P(X = a)$ est la probabilité de l'événement $\{X = a\}$ , formé des issues pour lesquelles $X$ vaut exactement $a$ . $P(X \leqslant a)$ est la probabilité de l'événement $\{X \leqslant a\}$ : on additionne $P(X = x_i)$ pour toutes les valeurs $x_i$ inférieures ou égales à $a$ ¹. Pour $P(X \leqslant a)$ , pense à inclure les valeurs négatives s'il y en a.

Sources

Ressources et documents — Variables aléatoires réelles, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Chapitre 7 — Variables aléatoires (Première Spécialité), CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Proba-stats — Ressources pédagogiques (IREM), IREM Université de Lille. Consulté le 6 novembre 2026.
Variable aléatoire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Convergence de variables aléatoires, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Exercice 1 Le carré d'un dé

Exercice 2 Nombre de piles sur deux lancers

Exercice 3 La somme de deux dés

Exercice 4 Trouver une probabilité manquante

Exercice 5 Le jeu de l'urne

Exercice 6 Tirage sans remise

Exercice 7 Deux tirs indépendants

Exercice 8 Une probabilité conditionnelle avec X

Exercice 9 Transformer une variable aléatoire

Les questions qu'on se pose

Sources

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Supérieur