Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Factorisation et signe d'un trinôme : cours de Première

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un trinôme $ax^2+bx+c$ se factorise grâce à son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ : deux racines si $\Delta>0$ , une racine double si $\Delta=0$ , aucune racine réelle ni factorisation en facteurs du premier degré si $\Delta<0$ .
Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$ : $a(x-x_0)^2$ avec $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .
Signe : à l'extérieur des racines, le trinôme a le signe de $a$ ; entre les racines, le signe contraire ; si $\Delta<0$ , il a partout le signe de $a$ .
Une racine évidente $x_1$ donne l'autre par $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ ou $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ .
Méthode : calculer $\Delta$ , trouver les racines, écrire la forme factorisée, dresser le tableau de signes, vérifier avec une valeur test.

Pourquoi factoriser un trinôme ?

Tu connais déjà la forme développée d'un trinôme, $ax^2+bx+c$ , et sa forme canonique. Chacune a son utilité : la première donne tout de suite l'ordonnée à l'origine, la seconde donne le sommet de la parabole. Il manque une troisième forme, celle qui fait apparaître les valeurs où le trinôme s'annule et qui permet de lire son signe d'un seul coup d'œil : la forme factorisée.

Prenons un exemple concret. Pour savoir où l'expression $x^2-x-6$ est positive ou négative, la forme développée ne dit rien. Écrite $(x+2)(x-3)$ , elle devient lisible : un produit de deux facteurs du premier degré, dont tu sais étudier le signe séparément. C'est exactement l'intérêt de la factorisation.

Au programme de Première, on te demande de factoriser des trinômes dans des cas simples ³, et de te servir de la forme en produit de facteurs du premier degré, pour un polynôme de degré 2 ou 3, afin de trouver ses racines et d'étudier son signe ³. Ce chapitre suit cette logique : d'abord obtenir la forme factorisée, ensuite en tirer le signe.

Rappels : trinôme, discriminant, forme canonique

Factoriser selon le signe du discriminant

Démonstration · Pourquoi ces trois formules

On part de la forme canonique.

Cas $\Delta>0$ . Comme $\Delta>0$ , le nombre $\sqrt{\Delta}$ existe, et $\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$ . La parenthèse devient une différence de deux carrés : $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]=a\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right).$ On reconnaît $x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}=x-x_2$ et $x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}=x-x_1$ . Le produit est donc $a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Cas $\Delta=0$ . Le terme soustrait disparaît : $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=a(x-x_0)^2$ .

Cas $\Delta<0$ . On a $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ , donc la parenthèse est une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif : elle est strictement positive pour tout $x$ et ne s'annule jamais. Il n'y a pas de racine réelle, donc pas de facteur $(x-r)$ .

Étudier le signe d'un trinôme

Démonstration · D'où vient la règle

Cas $\Delta>0$ . On a $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ . Étudions le signe du produit $(x-x_1)(x-x_2)$ :

pour $x<x_1$ , les deux facteurs sont négatifs, leur produit est positif ;
pour $x_1<x<x_2$ , le premier facteur est positif et le second négatif, le produit est négatif ;
pour $x>x_2$ , les deux facteurs sont positifs, le produit est positif.

Il suffit de multiplier par $a$ : si $a>0$ le signe est conservé, si $a<0$ il est inversé. À l'extérieur des racines, on a donc le signe de $a$ , et entre les racines, le contraire.

Cas $\Delta=0$ . $f(x)=a(x-x_0)^2$ et un carré est strictement positif dès que $x\neq x_0$ : le signe est celui de $a$ .

Cas $\Delta<0$ . La forme canonique montre que le crochet est strictement positif pour tout $x$ ; le signe de $f(x)$ est donc celui de $a$ . On retrouve ce résultat dans des ressources de lycée : un trinôme de discriminant strictement négatif garde le même signe partout ⁵.

Parabole de f(x) = x² − x − 6 · Les racines −2 et 3 séparent les zones où f est positive et négative.

Sur la parabole de $f(x)=x^2-x-6$ , les racines $-2$ et $3$ sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe horizontal. Comme $a=1>0$ , la courbe est « ouverte vers le haut » : elle est au-dessus de l'axe à l'extérieur des racines et en dessous entre les racines. Ce lien entre forme du graphique et signe de $a$ est un bon moyen de contrôler un résultat.

Signe de ax² + bx + c selon le discriminant
Cas	Racines	Signe de f(x)
Δ > 0	x₁ < x₂	Signe de a à l'extérieur, signe contraire entre x₁ et x₂
Δ = 0	x₀ (double)	Signe de a pour x ≠ x₀, nul en x₀
Δ < 0	aucune	Signe de a pour tout x

Signe de ax² + bx + c selon le discriminant

DiscriminantCalculer Δ = b² − 4ac
RacinesLes trouver si Δ ≥ 0, dans l'ordre croissant
FactoriserÉcrire a(x − x₁)(x − x₂)
TableauSigne de a dehors, contraire dedans
ContrôlerTester une valeur, par exemple x = 0

Étudier le signe d'un trinôme

Racine évidente, somme et produit des racines

Calculer $\Delta$ puis une racine carrée n'est pas toujours nécessaire. Quand tu repères une valeur qui annule le trinôme, tu peux trouver l'autre racine presque sans calcul. Ce réflexe est aussi utile pour des polynômes de degré 3, où la forme factorisée sert à trouver les racines et le signe ³.

Démonstration · Justification

Développons $a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+a\,x_1x_2$ . Cette expression est égale à $ax^2+bx+c$ pour tout $x$ , donc les coefficients correspondent : $-a(x_1+x_2)=b$ et $a\,x_1x_2=c$ . On divise par $a\neq 0$ pour obtenir les deux relations.

ExempleUn polynôme de degré 3 : $x^3-2x^2-5x+6$

Test en $x=1$ : $1-2-5+6=0$ . Donc $(x-1)$ est un facteur et l'on peut écrire $x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2+ux+v)$ . En développant, $x^3+(u-1)x^2+(v-u)x-v$ . Par identification : $u-1=-2$ donc $u=-1$ ; $-v=6$ donc $v=-6$ ; et on contrôle $v-u=-5$ . ✓

On obtient $(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x+2)(x-3)$ grâce au premier exemple de ce cours.

La même idée apparaît dans une ressource de lycée : un polynôme de degré 3 qui admet $5$ pour racine évidente se factorise avec un facteur $(x-5)$ et un trinôme du second degré ⁵. Ce trinôme garde un signe constant quand son discriminant est strictement négatif ⁵.

Problèmes types et usages du signe

Le signe d'un trinôme sert à répondre à des questions très variées : où une courbe est au-dessus d'une autre, pour quelles valeurs d'un paramètre une expression est toujours positive, ou encore sur quel intervalle une expression change de signe. Voici deux situations classiques.

ExempleProduit de facteurs à étudier

On veut le signe de $g(x)=(x-1)(x^2-x-6)$ . Le trinôme se factorise en $(x+2)(x-3)$ , donc $g(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$ . Les valeurs qui annulent $g$ sont $-2$ , $1$ et $3$ . En testant un point dans chaque intervalle :

$x=-3$ : $(-4)(-1)(-6)=-24<0$ ;
$x=0$ : $(-1)(2)(-3)=6>0$ ;
$x=2$ : $(1)(4)(-1)=-4<0$ ;
$x=4$ : $(3)(6)(1)=18>0$ .

Donc $g$ est positive sur $]-2\,;1[$ et sur $]3\,;+\infty[$ , négative sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]1\,;3[$ .

Erreurs fréquentes et conseils pour les contrôles

Exercices corrigés

Exercice 1 Factoriser un trinôme

★☆☆Environ 8 min

Factorise le trinôme $f(x)=2x^2-5x-3$ en précisant ses racines. Donne la plus grande racine.

Indice 1

Commence par identifier $a$ , $b$ et $c$ , puis calcule $\Delta$ .

Indice 2

N'oublie pas le facteur $a$ dans la forme finale.

Voir la correction pas à pas

On identifie $a=2$ , $b=-5$ , $c=-3$ .
On calcule $\Delta=(-5)^2-4\times2\times(-3)=25+24=49$ , donc $\sqrt{\Delta}=7$ .
Comme $\Delta>0$ , il y a deux racines : $x_1=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac12$ et $x_2=\dfrac{5+7}{4}=3$ .
On écrit $f(x)=2\left(x+\dfrac12\right)(x-3)=(2x+1)(x-3)$ .
Contrôle : $(2x+1)(x-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3$ . ✓ La plus grande racine est $3$ .

La plus grande racine est $3$ et $f(x)=(2x+1)(x-3)$ . Le contrôle par développement confirme le résultat.

Exercice 2 Tableau de signes d'un trinôme

★★☆Environ 10 min

Étudie le signe de $h(x)=-3x^2+6x-3$ , puis celui de $k(x)=-x^2+x+2$ .

Indice 1

Pour $h$ , calcule $\Delta$ : tu peux aussi mettre $-3$ en facteur.

Indice 2

Pour $k$ , range les racines dans l'ordre croissant avant de remplir le tableau.

Voir la correction pas à pas

Pour $h$ : $a=-3$ , $b=6$ , $c=-3$ , donc $\Delta=36-36=0$ .
La racine double est $x_0=-\dfrac{6}{2\times(-3)}=1$ , et $h(x)=-3(x-1)^2$ .
Un carré est positif ou nul ; multiplié par $-3$ , on obtient $h(x)\le0$ pour tout $x$ , avec $h(1)=0$ .
Pour $k$ : $a=-1$ , $b=1$ , $c=2$ , donc $\Delta=1+8=9$ et $\sqrt{\Delta}=3$ .
Racines : $\dfrac{-1-3}{-2}=2$ et $\dfrac{-1+3}{-2}=-1$ . Dans l'ordre croissant : $-1$ puis $2$ .
Comme $a=-1<0$ : $k$ est négatif pour $x<-1$ et pour $x>2$ , positif pour $-1<x<2$ , nul en $-1$ et en $2$ .
Contrôle : $k(0)=2>0$ et $0\in\,]-1\,;2[$ . ✓

$h$ est négative ou nulle sur $\mathbb{R}$ ; $k$ est strictement positive sur $]-1\,;2[$ et strictement négative à l'extérieur de $[-1\,;2]$ .

Exercice 3 Racine évidente et degré 3

★★☆Environ 12 min

On pose $p(x)=x^3-2x^2-5x+6$ . Vérifie que $1$ est racine, factorise $p(x)$ en trois facteurs du premier degré, puis détermine le signe de $p(x)$ pour $x=-3$ , $0$ , $2$ et $4$ .

Indice 1

Écris $p(x)=(x-1)(x^2+ux+v)$ et identifie les coefficients.

Indice 2

Le trinôme obtenu se factorise avec son discriminant.

Voir la correction pas à pas

$p(1)=1-2-5+6=0$ : $1$ est racine.
On écrit $p(x)=(x-1)(x^2+ux+v)=x^3+(u-1)x^2+(v-u)x-v$ .
Par identification : $u-1=-2$ donc $u=-1$ ; $-v=6$ donc $v=-6$ . Contrôle : $v-u=-5$ . ✓
Le trinôme $x^2-x-6$ a pour discriminant $1+24=25$ et pour racines $-2$ et $3$ , donc $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ .
Ainsi $p(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$ .
Calculs : $p(-3)=(-4)(-1)(-6)=-24<0$ ; $p(0)=(-1)(2)(-3)=6>0$ ; $p(2)=(1)(4)(-1)=-4<0$ ; $p(4)=(3)(6)(1)=18>0$ .

$p(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$ ; $p$ est négatif en $-3$ et en $2$ , positif en $0$ et en $4$ , ce qui correspond à un signe positif sur $]-2\,;1[$ et sur $]3\,;+\infty[$ .

Exercice 4 Un paramètre et un signe constant

★★★Environ 12 min

Soit $m$ un réel et $f_m(x)=x^2+mx+1$ . Combien y a-t-il de valeurs entières de $m$ pour lesquelles $f_m(x)>0$ pour tout réel $x$ ?

Indice 1

Le coefficient $a$ vaut $1$ : il est positif.

Indice 2

Quand $f_m$ est-il strictement positif partout ? Quand il n'a pas de racine.

Voir la correction pas à pas

Comme $a=1>0$ , $f_m(x)>0$ pour tout $x$ équivaut à dire que $f_m$ n'a aucune racine réelle, c'est-à-dire $\Delta<0$ .
On calcule $\Delta=m^2-4\times1\times1=m^2-4$ .
La condition $m^2-4<0$ s'écrit $m^2<4$ , soit $-2<m<2$ .
Les entiers strictement compris entre $-2$ et $2$ sont $-1$ , $0$ et $1$ .
Contrôle pour $m=2$ : $\Delta=0$ , $f_2(x)=(x+1)^2$ s'annule en $-1$ , donc $m=2$ ne convient pas.

Il y a $3$ valeurs entières : $-1$ , $0$ et $1$ . Les valeurs $-2$ et $2$ sont exclues car $\Delta=0$ donne une racine.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si un trinôme peut se factoriser ?

Calcule $\Delta=b^2-4ac$ . Si $\Delta\ge0$ , le trinôme se factorise : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta>0$ , $a(x-x_0)^2$ si $\Delta=0$ . Si $\Delta<0$ , il n'existe pas de factorisation en facteurs du premier degré à coefficients réels, mais tu connais quand même son signe : celui de $a$ .

À quoi sert la forme factorisée par rapport à la forme canonique ?

La forme canonique donne le sommet de la parabole et sert à démontrer les résultats. La forme factorisée donne les racines et le signe : c'est un produit, donc chaque facteur s'étudie séparément. Le programme de Première recommande d'ailleurs cette forme en produit de facteurs du premier degré pour trouver les racines et étudier le signe ³.

Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si le trinôme est une identité remarquable ( $x^2-9$ , $x^2+6x+9$ ), ou si tu vois une racine évidente comme $1$ ou $-1$ , tu gagnes du temps : le programme de Première demande d'ailleurs de savoir factoriser dans des cas simples ³. Mais le discriminant marche toujours : en cas de doute, c'est la méthode sûre.

Que faire quand le signe de $a$ est négatif ?

La règle ne change pas : le trinôme a le signe de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe contraire entre elles. Avec $a<0$ cela donne donc négatif à l'extérieur et positif entre les racines. Contrôle toujours avec une valeur test.

Pourquoi mon tableau de signes est-il faux alors que mes racines sont justes ?

Les causes les plus fréquentes : racines non rangées dans l'ordre croissant, signe de $a$ oublié, ou confusion entre « à l'extérieur » et « entre » les racines. Calcule la valeur du trinôme en $0$ (c'est $c$ ) : si $0$ est entre les racines, le signe de $c$ doit être celui que ton tableau indique pour cet intervalle.

Sources

TD différencié sur le second degré, Éduscol - Édubase. Consulté le 7 novembre 2026.
Tuiles algébriques et factorisation, Éduscol - Édubase. Consulté le 7 novembre 2026.
Ressources pédagogiques mathématiques première, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Enseignements de spécialité en classe de Première, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
Perles du second degré - Ressources pédagogiques lycée, CultureMath - École Normale Supérieure. Consulté le 7 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi factoriser un trinôme ?

Rappels : trinôme, discriminant, forme canonique

Factoriser selon le signe du discriminant

Étudier le signe d'un trinôme

Racine évidente, somme et produit des racines

Problèmes types et usages du signe

Erreurs fréquentes et conseils pour les contrôles

Exercices corrigés

Exercice 1 Factoriser un trinôme

Exercice 2 Tableau de signes d'un trinôme

Exercice 3 Racine évidente et degré 3

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