Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Si Δ>0, le trinôme se factorise : ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2), sans oublier le facteur a.3
Si Δ=0, on obtient a(x−x0)2 : le signe est celui de a, sauf en x0 où le trinôme s'annule.
Si Δ<0, aucune factorisation en facteurs du premier degré et le signe de a vaut pour tout réel x.5
Si Δ>0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur deux gestes liés : factoriser un trinôme ax2+bx+c et en déduire son signe. Tu dois déjà savoir calculer le discriminant et les racines d'un trinôme ; si ce n'est pas solide, reprends d'abord ces deux notions.
Quiz
12 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le discriminant vaut 25−24=1, donc les racines sont 25−1=2 et 25+1=3. D'où (x−2)(x−3). La forme (x+2)(x+3) confond racine et opposé de la racine : elle s'annulerait en −2 et −3. Quant à (x−1)(x−6), elle a pour somme des racines 7 au lieu de 5.
On a Δ=64−48=16, donc x1=48−4=1 et x2=48+4=3. Le coefficient dominant est 2 : on écrit 2(x−1)(x−3). La réponse (x−1)(x−3) oublie ce facteur, et son développement donne x2−4x+3, pas le trinôme de départ.
Les racines sont 1 et 3 (car Δ=4). Comme a=1>0, le trinôme est de signe contraire à a, donc négatif, entre les racines. Test : en x=2, 4−8+3=−1<0. L'intervalle fermé [1;3] est faux, car le trinôme vaut 0 en 1 et en 3 et l'inégalité est stricte. L'union des deux intervalles extérieurs donne la zone où le trinôme est positif.
On a Δ=1+8=9, donc les racines sont −2−1−3=2 et −2−1+3=−1. Ici a=−1<0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines (négatif) et du signe contraire entre elles (positif). Test : en x=0, la valeur est 2>0. Le premier choix vaut pour un trinôme à coefficient dominant positif, c'est le piège classique quand on oublie que a est négatif.
Ici Δ=1−4=−3<0 : il n'y a aucune racine réelle, donc aucune factorisation de ce type. Un trinôme à discriminant strictement négatif garde un signe constant,5 celui de a : ici il est strictement positif pour tout réel x. Dire « Vrai » revient à inventer des racines qui n'existent pas.
On a Δ=144−144=0 : racine double x0=812=23, et 4x2−12x+9=(2x−3)2. Un carré est positif ou nul, et il vaut 0 en 23. Le premier choix est tentant parce que a>0, mais il ignore que le trinôme s'annule bien en 23 : il n'est donc pas strictement positif partout.
Avec la forme factorisée, (1−5)(1+2)=(−4)×3=−12. Avec la forme développée, 1−3−10=−12 : les deux calculs concordent, ce qui confirme la factorisation. Si tu trouves 12, tu as probablement perdu le signe du facteur (1−5).
On a Δ=9−40=−31<0 : première affirmation vraie, et il n'y a pas de racine réelle, donc la deuxième est fausse. Le signe est alors constant et égal à celui de a=−2 : f(x)<0 pour tout x (par exemple f(0)=−5). La dernière affirmation suppose deux racines, qui n'existent pas ici.
Avec a(x−x1)(x−x2) et x1<x2, un réel x entre les racines rend (x−x1) positif et (x−x2) négatif. Leur produit est négatif, et multiplié par a>0 il le reste. À l'extérieur, les deux facteurs ont le même signe, donc le trinôme est positif. Les racines elles-mêmes annulent le trinôme.
On a Δ=36+108=144, donc x1=66−12=−1 et x2=66+12=3. La factorisation est 3(x+1)(x−3). Le premier choix oublie le facteur 3 et se développe en x2−2x−3. Les deux derniers se trompent de signe sur au moins une racine : ils s'annuleraient en −3 et 1, ou en 3 et 1.
On a Δ=1+24=25, donc les racines sont 21−5=−2 et 21+5=3. Comme a=1>0, le trinôme est strictement négatif pour −2<x<3. Les entiers concernés sont −1, 0, 1 et 2, soit 4 valeurs. Compter aussi −2 et 3 donnerait 6 : c'est faux, car l'inégalité est stricte et le trinôme vaut 0 en ces deux points.
On calcule directement : g(3)=−3×2×5=−30<0. Les deux facteurs du premier degré sont positifs, mais le coefficient −3 change le signe du produit. Le premier choix oublie ce coefficient. Le dernier est faux : la forme factorisée suffit, c'est justement son intérêt pour étudier le signe.3
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un trinôme se factorise ?
Calcule le discriminant. S'il est strictement positif, le trinôme se factorise en a(x−x1)(x−x2).3 S'il est nul, tu obtiens a(x−x0)2. S'il est strictement négatif, il n'existe pas de factorisation en facteurs du premier degré à coefficients réels.
Pourquoi le signe de $a$ compte-t-il autant ?
Dans a(x−x1)(x−x2), le produit des deux facteurs a un signe qui dépend seulement de la position de x par rapport aux racines. Le coefficient a multiplie ensuite ce produit : s'il est négatif, tous les signes sont inversés. C'est pourquoi on retient « signe de a à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles ».