Factorisation et signe d'un trinôme : exercices de 1re

On lit $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Discriminant : $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 6=25-24=1$. Comme $\Delta>0$, il y a deux racines.

Racines : $x_1=\dfrac{5-1}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{5+1}{2}=3$.

Forme factorisée : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=(x-2)(x-3)$.

Contrôle : $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$. C'est bien $f(x)$.

La plus grande racine est $3$.

On lit $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.

Discriminant : $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times(-2)=9+16=25$, donc $\sqrt{\Delta}=5$.

Racines : $x_1=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac12$ et $x_2=\dfrac{3+5}{4}=2$.

Forme factorisée : $g(x)=2\left(x+\dfrac12\right)(x-2)$.

On peut distribuer le $2$ dans le premier facteur : $g(x)=(2x+1)(x-2)$.

Contrôle : $(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$. C'est exact.

La racine négative est $-\dfrac12=-0{,}5$.

On lit $a=-1$, $b=4$, $c=-3$.

Discriminant : $\Delta=4^2-4\times(-1)\times(-3)=16-12=4$, donc $\sqrt{\Delta}=2$.

Racines : $x_1=\dfrac{-4-2}{-2}=3$ et $x_2=\dfrac{-4+2}{-2}=1$.

Forme factorisée : $h(x)=-(x-1)(x-3)$.

Signe : $a=-1<0$, donc $h(x)$ est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. Le tableau donne : $h<0$ sur $]-\infty\,;1[$, $h=0$ en $1$, $h>0$ sur $]1\,;3[$, $h=0$ en $3$, $h<0$ sur $]3\,;+\infty[$.

Contrôle : $h(2)=-4+8-3=1>0$. L'inéquation $h(x)>0$ a pour solution $]1\,;3[$.

Longueur de l'intervalle : $3-1=2$.

Question 1 : $\Delta=(-12)^2-4\times 4\times 9=144-144=0$. Il y a une racine double $x_0=\dfrac{12}{8}=\dfrac32$.

Forme factorisée : $p(x)=4\left(x-\dfrac32\right)^2=(2x-3)^2$.

Un carré est toujours positif ou nul : $p(x)\geq 0$ pour tout réel $x$, et $p(x)=0$ seulement pour $x=\dfrac32$.

Question 2 : pour $q$, $a=1$, $b=k$, $c=9$ et $\Delta=k^2-4\times 1\times 9=k^2-36$.

Racine double : $\Delta=0$, soit $k^2=36$, donc $k=6$ ou $k=-6$.

Comme $k$ est strictement positif, $k=6$. Alors $q(x)=x^2+6x+9=(x+3)^2$.

On lit $a=3$, $b=2$, $c=1$.

Discriminant : $\Delta=2^2-4\times 3\times 1=4-12=-8$.

Comme $\Delta<0$, il n'y a aucune racine réelle : on ne peut pas factoriser $r(x)$ en facteurs du premier degré à coefficients réels.

Le trinôme ne s'annule donc jamais et reste de signe constant.⁵

Ce signe est celui de $a=3$, donc positif. On le confirme avec $r(0)=1>0$.

Conclusion : $r(x)>0$ pour tout réel $x$.

Le périmètre vaut $2\times(\text{largeur}+\text{longueur})=20$, donc la longueur vaut $10-x$ mètres, avec $0<x<10$.

Aire : $A(x)=x(10-x)=-x^2+10x$ en m².

Condition : $A(x)\geq 21$, soit $-x^2+10x-21\geq 0$.

Discriminant : $\Delta=10^2-4\times(-1)\times(-21)=100-84=16$, donc $\sqrt{\Delta}=4$.

Racines : $x_1=\dfrac{-10-4}{-2}=7$ et $x_2=\dfrac{-10+4}{-2}=3$. Forme factorisée : $-(x-3)(x-7)$.

Comme $a=-1<0$, le trinôme est positif ou nul entre les racines : $3\leq x\leq 7$.

Cet intervalle est inclus dans $]0\,;10[$ : la largeur doit être comprise entre $3$ m et $7$ m.

Longueur de l'intervalle : $7-3=4$ m.

Si $3$ est racine, alors $s(3)=0$ : $2\times 3^2+3b-6=0$, soit $18+3b-6=0$.

On obtient $3b=-12$, donc $b=-4$ et $s(x)=2x^2-4x-6$.

Produit des racines : $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6}{2}=-3$. Avec $x_1=3$, on trouve $x_2=-1$.

Vérification par la somme : $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{2}=2$, et $3+(-1)=2$. Les deux relations concordent.

Forme factorisée : $s(x)=2(x-3)(x+1)$.

Contrôle en $x=0$ : $2\times(-3)\times 1=-6=s(0)$.

Signe : $a=2>0$, donc $s(x)<0$ entre les racines. Solution : $]-1\,;3[$.