Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Factorisation et signe d'un trinôme : fiche de 1re

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un trinôme $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$ ) se factorise grâce à ses racines : si $\Delta>0$ , il s'écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ .
La forme factorisée sert à trouver les racines et à étudier le signe de l'expression ³.
Si $\Delta>0$ : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
Si $\Delta=0$ : $a(x-x_0)^2$ , du signe de $a$ partout sauf en $x_0$ , où il s'annule.
Si $\Delta<0$ : pas de factorisation en facteurs du premier degré, et le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel ⁵.

Factoriser un trinôme

Tu connais déjà la forme canonique et le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ . Cette fiche les met au service d'un objectif : transformer un trinôme en produit, puis lire son signe. Le programme de Première demande de savoir factoriser, dans des cas simples, une expression du second degré ³.

Lire le signe grâce à la forme factorisée

Un produit change de signe quand l'un de ses facteurs change de signe. C'est pourquoi la forme factorisée, en produit de facteurs du premier degré, permet de trouver les racines et d'étudier le signe d'un polynôme de degré 2 ³.

PropriétéSigne selon le discriminant

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ .

Cas	Signe de $f(x)$
$\Delta>0$	signe de $a$ pour $x$ à l'extérieur des racines ; signe contraire de $a$ entre les racines ; $0$ aux racines
$\Delta=0$	signe de $a$ pour tout $x\neq x_0$ ; $0$ en $x_0$
$\Delta<0$	signe de $a$ pour tout réel $x$

Démonstration · Pourquoi le cas $\Delta<0$ ?

Partons de la forme canonique : $f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ . Si $\Delta<0$ , alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ . Le crochet est la somme d'un carré (positif ou nul) et d'un nombre strictement positif : il est strictement positif. Le signe de $f(x)$ est donc celui de $a$ . Dans la même logique, un trinôme de discriminant strictement négatif garde un signe constant ⁵.

Pièges et réflexes

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si un trinôme peut se factoriser ?

Calcule $\Delta$ . S'il est positif ou nul, le trinôme se factorise dans les réels, en deux facteurs du premier degré distincts si $\Delta>0$ , ou en un carré si $\Delta=0$ . S'il est strictement négatif, la factorisation en facteurs du premier degré est impossible.

Faut-il toujours construire un tableau de signes ?

Non. Une fois $\Delta$ et les racines connus, la règle du signe de $a$ suffit à conclure. Le tableau reste utile pour garder une trace claire de ta réponse, surtout quand l'expression est un produit de plusieurs facteurs.

Que faire si le coefficient $a$ est négatif ?

Conserve-le dans la factorisation : $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Le signe de $a$ inverse ensuite la lecture : si $\Delta>0$ , le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur ; si $\Delta<0$ , il est négatif pour tout réel.

Sources

TD différencié sur le second degré, Éduscol - Édubase. Consulté le 7 novembre 2026.
Tuiles algébriques et factorisation, Éduscol - Édubase. Consulté le 7 novembre 2026.
Ressources pédagogiques mathématiques première, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Enseignements de spécialité en classe de Première, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 7 novembre 2026.
Perles du second degré - Ressources pédagogiques lycée, CultureMath - École Normale Supérieure. Consulté le 7 novembre 2026.

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