Cercle trigonométrique et radian : cours de Première

Jusqu'ici, un angle est pour toi une ouverture que l'on mesure avec un rapporteur, en degrés, et qui vit dans un triangle. Cette vision est pratique, mais elle a une limite. Quand on définit le cosinus ou le sinus à partir d'un triangle rectangle, ces valeurs ne se comprennent que pour des angles situés entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ radian.² Impossible alors de parler d'un angle de $200^\circ$, d'un angle négatif, ou d'un angle de plusieurs tours.

Le cercle trigonométrique lève cette limite. Sur ce cercle, les valeurs prennent un sens pour n'importe quel réel.² C'est l'outil qui sert ensuite à définir proprement les notions d'angle, de radian et les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus, tangente.²

Ce chapitre construit les fondations de la trigonométrie de Première. Tu vas apprendre à :

• décrire le cercle trigonométrique et sa longueur ;
• associer un point du cercle à chaque nombre réel ;
• mesurer un angle en radians et passer des degrés aux radians ;
• reconnaître que deux réels différents peuvent donner le même point.

Les chapitres suivants, Cosinus et sinus d'un réel puis Fonctions cosinus et sinus, s'appuient directement sur ce que tu vas voir ici.

Le choix du rayon 1 n'a rien d'arbitraire. Les lignes trigonométriques sont toujours rapportées à des cercles de rayon 1 : c'est une convention fondamentale qui fixe les fonctions trigonométriques modernes.³ Avec un rayon de 1, les longueurs lues sur le cercle se confondent avec des nombres purs, et c'est ce qui rend le radian si commode, comme tu le verras plus bas.

Le cercle trigonométrique est aussi un cas particulier simple du repérage polaire : un point $M$ du plan y est repéré par sa distance $r$ à l'origine et par une mesure $\theta$ en radians de l'angle orienté $(\vec{\imath},\overrightarrow{OM})$. Sur le cercle trigonométrique, on a simplement $r=1$.²

Comment faire correspondre un nombre réel à un point du cercle ? On utilise une image : imagine la droite tangente au cercle au point de départ $I(1\,;0)$, graduée comme une droite des réels, avec $0$ placé en $I$. On l'enroule autour du cercle, comme un fil que l'on colle sur la circonférence. Les graduations positives s'enroulent dans un sens, les graduations négatives dans l'autre.¹

Comme le fil enroulé garde sa longueur, le réel $x$ représente la longueur de l'arc parcouru depuis $I$ pour atteindre $M_x$. Un réel positif te fait parcourir le cercle dans un sens, un réel négatif dans le sens contraire.¹³ Par convention, le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct.

Le degré découpe le tour complet en 360 parts égales. Ce découpage vient de l'histoire, pas des mathématiques. Le radian est l'unité naturelle : sur le cercle de rayon 1, la mesure d'un angle en radians est la longueur de l'arc qu'il découpe.¹²

Les fonctions trigonométriques usuelles en mathématiques s'appliquent à des angles mesurés en radians. On garde les mêmes noms pour d'autres unités comme les degrés ou les grades, mais en Première, tu travailles en radians.³

Dire qu'un angle de $180^\circ$ vaut $\pi$ radians revient à dire que les deux mesures sont proportionnelles. Si un angle mesure $d$ degrés et $x$ radians, alors $\dfrac{x}{\pi}=\dfrac{d}{180}$. Les deux mesures se lisent comme dans un tableau de proportionnalité.

Que se passe-t-il quand on enroule la droite avec un réel supérieur à $2\pi$ ? On fait plus d'un tour. Le point d'arrivée est alors le même qu'après avoir fait un tour de moins, car un tour complet ramène au point de départ. Autrement dit, le point ne bouge pas quand on ajoute ou retire un nombre entier de tours complets, c'est-à-dire un multiple entier de $2\pi$.²

Ici $k$ est un entier relatif : il peut être positif (on fait $k$ tours dans le sens direct), négatif (on fait $|k|$ tours dans l'autre sens) ou nul. Le mot « relatif » est important : $k=-1$ est permis.

Pour placer $M_x$ quand $x$ est grand ou négatif, on cherche un réel plus petit qui donne le même point. Le principe vient de la périodicité : on retire ou on ajoute des tours complets de $2\pi$ jusqu'à tomber dans un intervalle facile à lire, par exemple $[0\,;2\pi[$.

Sur le cercle trigonométrique, un angle au centre de $x$ radians (avec $0\le x\le2\pi$) intercepte un arc de longueur $x$. Comme la longueur du cercle vaut $2\pi$,¹ c'est aussi la fraction $\dfrac{x}{2\pi}$ du tour complet.

Pour les angles du premier quadrant, entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$, les définitions par le triangle rectangle et par le cercle coïncident. Mais seule la version par le cercle sait traiter les autres réels, positifs ou négatifs.²³ C'est pour cela qu'on la retient en Première.