Cercle trigonométrique et radian : exercices corrigés de 1re

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1. Son périmètre vaut donc $2\pi$ unités de longueur ¹.

Le chemin parcouru est le quart de ce périmètre : $\dfrac{2\pi}{4}$.

On simplifie : $\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$.

Valeur approchée : $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571$ unité de longueur.

Les mesures sont proportionnelles : $60°$ correspondent à $x$ radians, comme $180°$ correspondent à $\pi$ radians.

On écrit $x=\dfrac{60\times\pi}{180}$.

On simplifie $\dfrac{60}{180}=\dfrac{1}{3}$, donc $x=\dfrac{\pi}{3}$.

Valeur approchée : $\dfrac{\pi}{3}\approx 1{,}047198$.

Par proportionnalité, $x$ radians correspondent à $\dfrac{x\times 180}{\pi}$ degrés.

On remplace $x$ par $\dfrac{3\pi}{4}$ : $\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180}{\pi}$.

Le facteur $\pi$ se simplifie : il reste $\dfrac{3\times 180}{4}$.

On calcule : $\dfrac{540}{4}=135$.

On calcule la différence : $\dfrac{25\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{24\pi}{6}=4\pi$.

On divise par la longueur d'un tour : $\dfrac{4\pi}{2\pi}=2$. La différence correspond donc à 2 tours complets.

Enrouler la droite sur le cercle jusqu'à $\dfrac{25\pi}{6}$, c'est faire d'abord 2 tours complets, puis parcourir encore $\dfrac{\pi}{6}$.

Le point d'arrivée est donc le même que pour $\dfrac{\pi}{6}$ : $M_{25\pi/6}=M_{\pi/6}$ ².

Un tour vaut $2\pi$. On calcule $\dfrac{17\pi}{3}\div 2\pi=\dfrac{17}{6}\approx 2{,}83$ : il y a presque 3 tours.

On retranche 3 tours, soit $6\pi$ : $\dfrac{17\pi}{3}-6\pi=\dfrac{17\pi-18\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}$.

On vérifie : $-\pi<-\dfrac{\pi}{3}\leqslant\pi$, donc le résultat est dans l'intervalle voulu.

Les deux réels diffèrent de $6\pi=3\times 2\pi$, donc ils ont le même point associé ².

Pour un réel négatif, on enroule la droite dans le sens négatif, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre.

La distance à parcourir est $\left|-\dfrac{5\pi}{2}\right|=\dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}$.

On fait d'abord un tour complet dans le sens négatif ; on revient en $I$ ².

Il reste $\dfrac{\pi}{2}$, c'est-à-dire un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre depuis $I$. On arrive au point diamétralement opposé à $J$, en bas du cercle.

Ce point est à la distance 1 de O, sur l'axe des ordonnées, du côté négatif : ses coordonnées sont $(0\,;-1)$.

Le cercle de rayon 5 s'obtient à partir du cercle de rayon 1 par un agrandissement : toutes les longueurs sont multipliées par 5.

L'angle ne change pas lors d'un agrandissement : il mesure toujours 2 radians.

Sur le cercle de rayon 1, l'arc mesure 2 ; sur le cercle de rayon 5 cm, il mesure $5\times 2$.

On calcule : $5\times 2=10$ cm.

En 20 minutes sur 60, l'aiguille a effectué $\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}$ de tour.

En radians : $\dfrac{1}{3}\times 2\pi=\dfrac{2\pi}{3}$ radians, soit environ $2{,}094$.

En degrés : $\dfrac{2\pi}{3}\times\dfrac{180}{\pi}=120$, donc l'angle mesure $120°$.

Le sens des aiguilles d'une montre est le sens négatif du cercle trigonométrique : la rotation est donc associée au réel $-\dfrac{2\pi}{3}$.

On vérifie : $-\pi<-\dfrac{2\pi}{3}\leqslant\pi$.