Cosinus et sinus d'un réel : cours de Première spécialité

Tu connais déjà le cercle trigonométrique et le radian : à chaque nombre réel $x$, on associe un point $M$ du cercle de rayon 1, obtenu en enroulant la droite des réels autour du cercle. Ce chapitre répond à une question simple : comment décrire la position de $M$ avec des nombres ?

La réponse tient en deux mots, cosinus et sinus. Ce sont les deux coordonnées du point $M$ dans le repère orthonormé $(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ du plan ². Avec elles, une position sur un cercle devient un couple de nombres, et on peut calculer, comparer, résoudre des équations.

Tu as déjà rencontré ces mots au collège, dans le triangle rectangle. Le programme de Première relie les deux points de vue : cosinus et sinus d'un nombre réel, avec le lien vers le triangle rectangle et les valeurs remarquables ². L'enjeu du chapitre est de passer des angles aigus du collège à n'importe quel réel, positif ou négatif, grand ou petit.

Place-toi dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ et trace le cercle trigonométrique, de centre $O$ et de rayon 1, parcouru dans le sens direct (le sens inverse des aiguilles d'une montre). Pour un réel $x$, le point $M$ est celui que l'on atteint après avoir parcouru une longueur $x$ sur le cercle à partir du point $I(1\,;0)$, vers le haut si $x>0$, vers le bas si $x<0$.

L'angle orienté $(\vec{\imath},\overrightarrow{OM})$ a alors pour mesure $x$ radians. Quand les angles sont mesurés en radians, on obtient une fonction : à chaque nombre $\alpha$, elle fait correspondre le sinus de l'angle repéré par $\alpha$. C'est la fonction sinus ³.

Autrement dit, on peut écrire $M(\cos x\,;\sin x)$. Cette écriture est la clé de tout le chapitre : chaque propriété que tu vas voir est une façon de lire une symétrie ou une répétition du cercle.

Un exemple pour fixer les idées. Pour $x=0$, on n'a pas bougé : $M=I(1\,;0)$, donc $\cos 0=1$ et $\sin 0=0$. Pour $x=\frac{\pi}{2}$, on a parcouru un quart de cercle : $M$ est en haut, au point $(0\,;1)$, donc $\cos\frac{\pi}{2}=0$ et $\sin\frac{\pi}{2}=1$. Pour $x=\pi$, on a parcouru un demi-cercle : $M(-1\,;0)$, donc $\cos\pi=-1$ et $\sin\pi=0$.

Au collège, le cosinus d'un angle aigu se calcule dans un triangle rectangle comme le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse, et le sinus comme le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Pour un angle aigu, le sinus est un nombre positif compris entre 0 et 1 ; on peut le définir dans n'importe quel triangle rectangle dont un angle autre que l'angle droit a pour mesure $\alpha$ ³.

Le cercle trigonométrique redonne exactement ce résultat. Prends un angle aigu $x$ et le point $M(\cos x\,;\sin x)$. Projette $M$ sur l'axe des abscisses en $H$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, son hypoténuse $OM$ vaut 1, le côté adjacent à l'angle en $O$ vaut $\cos x$ et le côté opposé vaut $\sin x$. Le rapport « adjacent sur hypoténuse » est donc bien $\cos x$, et « opposé sur hypoténuse » est bien $\sin x$.

La nouveauté de la Première est que le cercle ne se limite pas aux angles aigus : avec un angle orienté quelconque, le sinus est un réel qui reste entre $-1$ et $1$ ³.

Pourquoi ? Parce que $M$ est sur le cercle de rayon 1 : ses coordonnées ne peuvent pas dépasser 1 en valeur absolue. Retiens-en une conséquence pratique : une égalité comme $\cos x=1{,}3$ n'a aucune solution, et un résultat de calcul qui sort de l'intervalle $[-1\,;1]$ signale une erreur.

Regarde les symétries du cercle. Le point associé à $-x$ est le symétrique du point associé à $x$ par rapport à l'axe des abscisses : il a la même abscisse et une ordonnée opposée. Cette observation est exactement ce que disent la parité du cosinus ⁴ et l'imparité du sinus ³.

Une autre symétrie : celle par rapport à l'axe des ordonnées. Elle envoie le point associé à $x$ sur le point associé à $\pi-x$. L'ordonnée ne change pas, l'abscisse change de signe. On en déduit : $\sin(\pi-x)=\sin x\qquad\text{et}\qquad\cos(\pi-x)=-\cos x.$ Enfin, la symétrie par rapport à l'origine donne $\cos(x+\pi)=-\cos x$ et $\sin(x+\pi)=-\sin x$.

La seconde égalité se déduit de la première : il suffit de remplacer $x$ par $\frac{\pi}{2}-x$ dans $\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$. On obtient $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\sin x$.

Le programme demande de connaître les valeurs remarquables du cosinus et du sinus ². Plutôt que de les apprendre par cœur sans comprendre, retrouve-les par la géométrie du triangle rectangle, dont le lien avec cosinus et sinus a été vu plus haut.

Pour $\frac{\pi}{4}$ (45°). Un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse 1 a deux côtés égaux de longueur $a$. Le théorème de Pythagore donne $a^2+a^2=1$, donc $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ainsi $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pour $\frac{\pi}{3}$ (60°). Prends un triangle équilatéral de côté 1 et trace une hauteur : elle coupe un côté en son milieu. On obtient un triangle rectangle d'hypoténuse 1, dont un côté vaut $\frac{1}{2}$ et l'angle en un sommet de la base vaut $\frac{\pi}{3}$. Le côté adjacent vaut $\frac12$, donc $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$. Le dernier côté vaut $\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}$, donc $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour $\frac{\pi}{6}$ (30°). C'est le complémentaire de $\frac{\pi}{3}$ : $\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}$. Avec la relation $\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ⁴, on obtient $\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$.

Résoudre une équation trigonométrique, c'est trouver tous les réels qui ont un cosinus ou un sinus donné. À cause de la périodicité, il y a en général une infinité de solutions, qu'on décrit avec un entier relatif $k$.

Le point de départ est un résultat à connaître : si deux réels ont le même cosinus, alors leur différence ou leur somme vaut un nombre entier de fois $2\pi$, et réciproquement ⁴.

Tu as maintenant les outils pour travailler sur le cercle. La suite du programme étudie les fonctions cosinus et sinus : leurs courbes, leur parité qui se lit comme une symétrie de la courbe, leur périodicité qui se lit comme un motif qui se répète. En Première, on travaille dans le repère orthonormé du plan avec ces deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ ².

Une remarque sur les calculatrices et les ordinateurs : il n'existe pas de méthode normalisée pour calculer un sinus ou un cosinus ; chaque machine fait un compromis entre rapidité et précision ³. Quelle que soit la méthode, la machine n'affiche qu'un nombre fini de décimales : elle donne donc une valeur approchée de nombres comme $\frac{\sqrt3}{2}$, alors que les valeurs remarquables de ce cours sont exactes.