Cosinus et sinus d'un réel : exercices corrigés de Première

On calcule la différence : $\frac{13\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{12\pi}{3}=4\pi$.

On remarque que $4\pi=2\times 2\pi$, donc la différence appartient à $2\pi\mathbb{Z}$.

Deux réels qui diffèrent d'un élément de $2\pi\mathbb{Z}$ ont le même cosinus ⁴ : $\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

On conclut avec la valeur donnée : $\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.

Le cosinus est une fonction paire ⁴ : $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.

Le sinus est une fonction impaire ³ : $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.

On additionne : $B=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

On calcule le complémentaire : $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-2\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$.

La relation $\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ ⁴, appliquée avec $x=\frac{\pi}{6}$, donne $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Donc $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866025$.

Pour $m=2$, le second membre vaut $2\times 2-1=3$. Or un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ ³ : il ne peut pas valoir 3. L'équation n'a aucune solution.

Pour qu'une solution existe, il faut $-1\le 2m-1\le 1$.

On ajoute 1 à chaque membre : $0\le 2m\le 2$.

On divise par 2 : $0\le m\le 1$. Les valeurs possibles de $m$ sont donc celles de l'intervalle $[0\,;\,1]$.

La plus grande valeur est $m=1$ ; dans ce cas, $2m-1=1$.

On retranche deux tours : $\frac{17\pi}{5}-4\pi=\frac{17\pi-20\pi}{5}=-\frac{3\pi}{5}$.

La différence entre $\frac{17\pi}{5}$ et $-\frac{3\pi}{5}$ est $4\pi\in 2\pi\mathbb{Z}$, donc ces deux réels ont le même cosinus ⁴.

Le cosinus est pair ⁴ : $\cos\left(-\frac{3\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.

Le réel $\frac{3\pi}{5}$ appartient bien à $[0\,;\,\pi]$, donc $\alpha=\frac{3\pi}{5}\approx 1{,}884956$.

Parité du cosinus ⁴ : $\cos(-x)=\cos(x)$.

Angle complémentaire ⁴ : $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$.

Un tour complet ne change pas la valeur : $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ (voir la démonstration de la section « Complément », appuyée sur ⁴).

Imparité du sinus ³ : $\sin(-x)=-\sin(x)$, donc $-\sin(-x)=+\sin(x)$.

On additionne : $A=\cos(x)+\cos(x)+\sin(x)+\sin(x)=2\cos(x)+2\sin(x)$.

Avec les valeurs données : $A=2\times 0{,}6+2\times 0{,}8=1{,}2+1{,}6=2{,}8$.

Par la caractérisation des cosinus égaux ⁴, $\cos(x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ équivaut à : $x-\frac{\pi}{3}\in 2\pi\mathbb{Z}$ ou $x+\frac{\pi}{3}\in 2\pi\mathbb{Z}$.

Première famille : $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$. Pour $k=0$ : $\frac{\pi}{3}$ ; pour $k=1$ : $\frac{7\pi}{3}$ ; pour $k=2$ : $\frac{13\pi}{3}>4\pi$, trop grand ; pour $k=-1$ : valeur négative.

Seconde famille : $x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$. Pour $k=0$ : négatif ; pour $k=1$ : $\frac{5\pi}{3}$ ; pour $k=2$ : $\frac{11\pi}{3}$ ; pour $k=3$ : $\frac{17\pi}{3}>4\pi$, trop grand.

Les solutions dans $[0\,;\,4\pi]$ sont donc $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$ et $\frac{11\pi}{3}$ : il y en a 4.

Un sinus est un réel compris entre $-1$ et $1$ ³. Comme $-1{,}3<-1$, l'égalité $\sin(x)=-1{,}3$ est impossible.

Comme $-1\le -\frac{3}{4}\le 1$, la valeur $-\frac{3}{4}$ est compatible avec l'encadrement : l'égalité $\sin(x)=-\frac{3}{4}$ peut être réalisée.

Dans le dernier cas, $\cos(x)=-0{,}5+2=1{,}5$. Or un cosinus est compris entre $-1$ et $1$ ³⁴ : cette situation est impossible.