Pour que deux réels aient le même cosinus, il faut et il suffit que leur somme ou leur différence soit un multiple entier de 2π4.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le cosinus et le sinus d'un nombre réel, juste après le cercle trigonométrique et le radian. Tu y croises les définitions des deux fonctions, leur parité, leur périodicité, l'intervalle où elles prennent leurs valeurs et le lien qui les relie.
Les deux fonctions sont définies sur R : à tout réel x, la fonction cosinus associe cos(x) et la fonction sinus associe sin(x)2. Le programme de Première rattache ces notions au triangle rectangle et aux valeurs remarquables 2.
Quiz
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La fonction cosinus est définie sur R : elle associe cos(x) à tout réel x2. L'intervalle [0;2π] est tentant parce qu'on y lit un tour de cercle, mais ce n'est qu'une partie de l'ensemble de définition. L'intervalle [−1;1] est l'ensemble des valeurs prises, pas celui des antécédents.
La fonction sinus est impaire 3 : sin(−x)=−sin(x). On la confond souvent avec le cosinus, qui est pair 4. Une fonction à la fois paire et impaire serait nulle partout, ce qui n'est pas le cas du sinus.
La fonction cosinus est paire 4 : cos(−x)=cos(x) pour tout réel x. Être périodique n'empêche pas d'être pair : le cosinus est les deux à la fois. L'erreur « impaire » vient d'une confusion avec le sinus 3.
Le sinus d'un angle orienté est un réel compris entre −1 et 13. L'intervalle [0;1] ne convient qu'aux angles aigus non orientés 3. Les bornes π et 2π sont des mesures d'angles en radians, pas des valeurs du sinus.
C'est vrai : le sinus est une fonction impaire 3, ce qui s'écrit exactement sin(−x)=−sin(x). Le piège serait de recopier la règle du cosinus, cos(−x)=cos(x), qui vient de sa parité 4.
C'est faux. Le sinus prend ses valeurs entre −1 et 13, et comme cosx=sin(2π−x)4, le cosinus prend les mêmes valeurs : il ne dépasse jamais 1. Le nombre 1,5 est donc impossible. On pourrait croire qu'un « grand angle » donne un grand cosinus, mais quelle que soit la taille de l'angle, le cosinus reste entre −1 et 1.
On a cosx=sin(2π−x) : le cosinus est le sinus du complémentaire 4. L'égalité cosx=−sinx est fausse en général, puisque cos et sin ne sont pas opposés. La relation avec π−x décrit un autre lien, celui qui garde le sinus et non le cosinus.
Le sinus est impair 3, donc sin(−a)=−sin(a)=−0,6. Garder le signe +0,6 reviendrait à traiter le sinus comme une fonction paire, ce qui est le cas du cosinus 4 mais pas du sinus.
Le critère est le suivant 4 : deux réels ont le même cosinus quand leur somme ou leur différence est un multiple entier de 2π, et seulement dans ce cas. Pour x+2π et x−4π, la différence avec x vaut 2π et −4π, donc c'est bon. Pour −x, la somme avec x vaut 0=0×2π : cela traduit la parité du cosinus 4. Pour x+π, la différence est π, qui n'est pas un multiple entier de 2π : le cosinus change en général de valeur.
La différence entre x+6π et x vaut 6π=3×2π, un multiple entier de 2π. Les deux réels ont donc le même cosinus 4, et la différence demandée est 0. Penser qu'un décalage de 6π change la valeur serait oublier que 6π fait simplement trois tours complets.
Puisque cosx=sin(2π−x)4, on obtient directement 0,28. Calculer −0,28 ou 1−0,28 vient d'une mauvaise mémorisation de la formule : aucun changement de signe ni de complément à 1 n'intervient ici.
La fonction sinus associe au réel α le sinus de l'angle orienté de mesure α radians 3. Les degrés et les grades servent à mesurer des angles dans d'autres contextes 3, mais l'argument d'une fonction définie sur R est un nombre réel lu en radians.
La fonction sinus est impaire et périodique 3, et le sinus d'un angle orienté est compris entre −1 et 13. L'affirmation « paire » est fausse : c'est le cosinus qui est pair 4. Seule une fonction nulle serait à la fois paire et impaire.
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et le cosinus est pair 4. La symétrie par rapport à l'origine appartient aux fonctions impaires, comme le sinus 3. La courbe du cosinus ne peut pas être symétrique par rapport à l'axe des abscisses : il faudrait que cos(x) et −cos(x) soient tous deux l'image de x, ce qui est impossible dès que cos(x)=0.
C'est vrai : pour un angle aigu non orienté, le sinus est un réel positif compris entre 0 et 1, et on peut le lire dans un triangle rectangle 3. Cela ne contredit pas l'intervalle [−1;1], qui concerne les angles orientés, dont le sinus peut être négatif 3.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre le sinus d'un angle et le sinus d'un réel ?
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, le sinus est un nombre positif compris entre 0 et 13. Pour un réel α, on prend le sinus de l'angle orienté de mesure α radians, ce qui donne un nombre compris entre −1 et 13. La seconde définition prolonge la première à tous les réels.
Comment retenir lequel est pair et lequel est impair ?
Le cosinus est pair 4 : changer x en −x ne change rien, cos(−x)=cos(x). Le sinus est impair 3 : changer x en −x change le signe, sin(−x)=−sin(x). Un repère visuel : la courbe du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celle du sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Pourquoi deux réels différents peuvent-ils avoir le même cosinus ?
Le critère est le suivant 4 : deux réels ont le même cosinus quand leur somme ou leur différence est un multiple entier de 2π, et seulement dans ce cas. Par exemple, x et x+2π ont la même image, et x et −x aussi, puisque leur somme vaut 0. Le cosinus reprend donc les mêmes valeurs à chaque tour, d'où l'importance de préciser l'intervalle de recherche dans une équation.