Fonctions cosinus et sinus : cours de 1re spécialité maths

Au chapitre précédent, tu as enroulé la droite des réels autour du cercle trigonométrique. À chaque réel $x$, tu as associé un point du cercle, et tu as appelé cosinus de $x$ son abscisse, sinus de $x$ son ordonnée. Jusqu'ici, tu calculais ces nombres un par un : $\cos\frac{\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, etc.

Dans ce cours, on change de point de vue. On ne regarde plus un nombre isolé, mais la fonction qui, à tout réel $x$, associe $\cos x$, puis celle qui associe $\sin x$. Ces deux fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier, puisqu'on peut enrouler n'importe quel réel, positif ou négatif, autour du cercle.

Pourquoi étudier ces fonctions ? Parce qu'elles décrivent tout ce qui se répète : la hauteur d'une nacelle de grande roue, une onde sonore, le courant alternatif, la marée. Pour comprendre ces phénomènes, il faut connaître la forme de la courbe, ses symétries, son rythme de répétition. C'est exactement ce que ce cours met en place, avec trois outils : une relation entre cosinus et sinus, la périodicité, la parité.

D'où vient-elle ? Le point du cercle trigonométrique associé à $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$. Ce point est à distance $1$ de l'origine, donc la somme des carrés de ses coordonnées vaut $1$, comme dans le théorème de Pythagore. La notation $\cos^2 x$ veut dire $(\cos x)^2$ : on met le carré sur le cosinus, pas sur $x$.

Quand tu ajoutes $2\pi$ à un réel $x$, tu fais un tour complet du cercle trigonométrique : tu retombes sur le même point. Ses coordonnées ne changent donc pas.

Cette propriété a une conséquence immédiate sur le travail : puisque les valeurs se répètent à l'identique tous les $2\pi$, il suffit d'étudier chacune des deux fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$ ¹. Le reste de la courbe s'obtient en la recopiant par translations horizontales de $2\pi$, $4\pi$, $-2\pi$, etc.

Sur le cercle, les réels $x$ et $-x$ correspondent à deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnées opposées. Voilà pourquoi le cosinus ne change pas et pourquoi le sinus change de signe.

Côté courbes, une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère. La courbe du cosinus est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celle du sinus par rapport à l'origine.

Combinons les deux outils. La période $2\pi$ permet de se limiter à un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$. La parité permet ensuite de n'étudier que la moitié droite, $[0\,;\,\pi]$, et de compléter par symétrie. Il reste donc un seul morceau de courbe à comprendre.

Sur $[0\,;\,\pi]$, lis les variations sur le cercle trigonométrique. Quand $x$ croît de $0$ à $\pi$, le point associé parcourt le demi-cercle du haut, de $(1\,;\,0)$ vers $(-1\,;\,0)$ en passant par $(0\,;\,1)$.

• Son abscisse (le cosinus) diminue sans cesse de $1$ à $-1$ : le cosinus est décroissant sur $[0\,;\,\pi]$.
• Son ordonnée (le sinus) monte de $0$ jusqu'à $1$ (atteint en $\frac{\pi}{2}$), puis redescend à $0$ : le sinus est croissant sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ puis décroissant sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$.

Voici les courbes du cosinus (en $\mathcal{C}_f$) et du sinus (en $\mathcal{C}_g$) tracées dans un même repère, comme les cours de lycée le proposent pour comparer les deux fonctions ¹. Tracer les deux sur un seul graphique aide à comparer leur croissance et leurs points d'intersection ².

Les deux fonctions sont dérivables sur $\mathbb{R}$ ¹. Concrètement, leurs courbes sont lisses : aucune cassure, aucune pointe, et on peut tracer une tangente en chacun de leurs points. C'est ce qui permet, dans la suite du programme, d'étudier précisément leurs variations avec les outils de dérivation.