Réflexe d'examen : relier une valeur de cosx ou sinx à l'autre par la relation fondamentale, puis choisir le signe grâce à la position du point sur le cercle.
Ce qu'il faut savoir avant
Tu connais déjà le cercle trigonométrique et le radian : à chaque réel x, on associe un point du cercle, dont l'abscisse est cosx et l'ordonnée est sinx. Ici, on change de point de vue : on regarde x↦cosx et x↦sinx comme de vraies fonctions, avec une courbe, des symétries et un comportement qui se répète.
Périodicité
Concrètement, faire un tour complet du cercle ramène au même point. La courbe se répète donc à l'identique, motif après motif, tous les 2π.
Parité et symétries
Dérivabilité et lecture des courbes
Questions flash
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La relation cos2x+sin2x=11 donne cos2x=1−259=2516, donc cosx=±54. Comme cosx>0, on garde 0,8. L'erreur tentante, −0,8, est écartée par l'hypothèse de signe ; une autre erreur, 0,4, vient d'une racine mal calculée.
Le cosinus est périodique de période 2π1 ; ajouter 4π revient à ajouter deux fois la période, ce qui ne change rien. −cosx serait le résultat d'un décalage de π, car cos(x+π)=−cosx ; or 4π correspond à deux tours complets. cosx+4π confond ajout à l'angle et ajout au résultat.
Le sinus est impair 1 : sin(−a)=−sina=−0,3. La réponse 0,3 correspondrait à une fonction paire, comme le cosinus. Les valeurs 0,7 et −0,7 viennent d'une confusion avec « 1−0,3 ».
Le cosinus est bien pair 1, mais une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La symétrie par rapport à l'origine caractérise les fonctions impaires, comme le sinus.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi étudier cosinus et sinus seulement sur un intervalle ?
Parce que ces fonctions sont périodiques de période 2π1 : leur courbe se répète à l'identique. Il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur 2π, puis de reproduire le motif 1.
Comment retenir cosinus pair et sinus impair ?
Le cosinus est pair 1 : cos(−x)=cosx, car l'abscisse du point du cercle ne change pas quand on le symétrise par rapport à l'axe des abscisses. Le sinus est impair 1 : l'ordonnée change de signe, d'où sin(−x)=−sinx.
Est-ce que la relation $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ tombe à l'examen ?
Elle sert très souvent : pour trouver un cosinus connaissant un sinus, ou l'inverse, avec le signe à choisir selon l'énoncé. Elle est valable pour tout réel x1.