Fonctions cosinus et sinus : exercices corrigés de 1re

On décompose l'angle : $\dfrac{25\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{24\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+8\pi$.

On remarque que $8\pi=4\times 2\pi$ : l'angle est $\dfrac{\pi}{3}$ augmenté de quatre périodes.

Le cosinus est périodique de période $2\pi$ ¹, donc ajouter $4\times 2\pi$ ne change pas sa valeur : $\cos\left(\dfrac{25\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Avec la valeur connue : $\cos\left(\dfrac{25\pi}{3}\right)=\dfrac12$.

Par périodicité de période $2\pi$ ¹, $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)=\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi\right)$.

On calcule : $-\dfrac{7\pi}{6}+\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$. Donc $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$.

Sur le cercle trigonométrique, les points associés à $\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}$ et à $\dfrac{\pi}{6}$ ont la même ordonnée, donc $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12$.

D'après la relation fondamentale ¹, $\sin^2 x=1-\cos^2 x$.

On remplace : $\sin^2 x=1-\left(\dfrac35\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$.

Donc $\sin x=\dfrac45$ ou $\sin x=-\dfrac45$.

Pour $x\in[0\,;\pi]$, le point du cercle a une ordonnée positive ou nulle, donc $\sin x\geqslant 0$. On garde $\sin x=\dfrac45$.

Par la relation fondamentale ¹, $\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$.

Donc $\cos x=\dfrac{12}{13}$ ou $\cos x=-\dfrac{12}{13}$.

L'intervalle $\left[\pi\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ correspond au quadrant en bas à gauche du cercle, où les abscisses sont négatives ou nulles : $\cos x\leqslant 0$.

On retient $\cos x=-\dfrac{12}{13}$.

Vérification : $\left(-\dfrac{12}{13}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{13}\right)^2=\dfrac{144+25}{169}=\dfrac{169}{169}=1$.

On développe : $(\cos x+\sin x)^2=\cos^2 x+2\sin x\cos x+\sin^2 x$.

On regroupe : $(\cos x+\sin x)^2=(\cos^2 x+\sin^2 x)+2\sin x\cos x$.

Comme $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ pour tout réel $x$ ¹, on obtient $(\cos x+\sin x)^2=1+2\sin x\cos x$.

Avec $\sin x\cos x=0{,}12$ : $(\cos x+\sin x)^2=1+2\times 0{,}12=1{,}24$.

Par périodicité de période $2\pi$ ¹, $4\pi=2\times 2\pi$ disparaît : $\cos\left(4\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(4\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Le cosinus est pair ¹ : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$.

Le sinus est impair ¹ : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.

On assemble : $f\left(4\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=2\times\dfrac12-\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=1+\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Valeur approchée : $1+\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 1{,}866$.

Pour tout réel $x$, $-x$ est aussi un réel et $g(-x)=\sin(-x)\cos(-x)$.

Le sinus est impair et le cosinus est pair ¹ : $g(-x)=(-\sin x)\times\cos x=-\sin x\cos x=-g(x)$. La fonction $g$ est donc impaire.

Pour la période : $g(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)\cos(x+2\pi)$. Les deux fonctions ont pour période $2\pi$ ¹, donc $g(x+2\pi)=\sin x\cos x=g(x)$.

Conséquence de la période : l'étude sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\pi]$, suffit, puisque la courbe se répète ensuite par translation ¹.

Conséquence de la parité : la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Connaître $g$ sur $[0\,;\pi]$ donne donc $g$ sur $[-\pi\,;0]$ par symétrie centrale, puis sur $\mathbb{R}$ par translations de $2\pi$.

On écrit $\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x)^2-(\sin^2 x)^2=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)$.

Le second facteur vaut $1$ d'après la relation fondamentale ¹ : $\cos^4 x-\sin^4 x=\cos^2 x-\sin^2 x$.

On remplace $\sin^2 x$ par $1-\cos^2 x$ ¹ : $\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=2\cos^2 x-1$. Le résultat de la question 1 est établi.

Avec $\cos x=\dfrac35$ : $\cos^2 x=\dfrac{9}{25}$, donc $2\cos^2 x-1=\dfrac{18}{25}-\dfrac{25}{25}=-\dfrac{7}{25}=-0{,}28$.

Contrôle : $\sin^2 x=\dfrac{16}{25}$, donc $\cos^4 x-\sin^4 x=\dfrac{81}{625}-\dfrac{256}{625}=-\dfrac{175}{625}=-0{,}28$.

Si $\cos x=\sin x$, la relation fondamentale ¹ devient $\cos^2 x+\cos^2 x=1$, soit $2\cos^2 x=1$.

On en tire $\cos^2 x=\dfrac12$, donc $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ ou $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, le point du cercle est en haut à droite : le cosinus est positif ou nul. On garde $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, et $\sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

L'angle usuel dont le cosinus et le sinus valent tous deux $\dfrac{\sqrt2}{2}$ est $x=\dfrac{\pi}{4}$.

Réciproquement, pour $x=\dfrac{\pi}{4}$ on a bien $\cos x=\sin x$ : les deux courbes se coupent au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{4}$ et d'ordonnée $\dfrac{\sqrt2}{2}\approx 0{,}707$.