Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un tableau de signes donne le signe d'une expression factorisée en appliquant la règle des signes 3.
Pour ax+b : le signe est celui de a à droite de la racine −ab, et le signe contraire à gauche.
Avec n facteurs, le tableau compte n+2 lignes : la ligne de x, une ligne par facteur, une ligne pour le produit 3.
Pour une inéquation : tout passer dans un membre pour avoir 0 de l'autre côté, factoriser, dresser le tableau, lire les intervalles 3.
Un quotient se traite comme un produit, mais la valeur qui annule le dénominateur est interdite (double barre) et ses crochets restent ouverts.
À quoi sert un tableau de signes ?
Tu sais déjà résoudre une inéquation du premier degré comme 3x−6>0 : on isole x et on conclut. Mais que faire avec (2x−6)(x+4)≤0 ? Ici, il y a deux facteurs, chacun change de signe en un endroit différent. Il devient difficile de suivre tout cela de tête, et c'est là que le tableau de signes intervient.
C'est un outil d'organisation : on découpe la droite des réels en morceaux, on étudie chaque facteur séparément sur chaque morceau, puis on combine les résultats grâce à la règle des signes. Au bout du compte, tu sais pour quelles valeurs de x l'expression est positive, négative ou nulle.
Dans ce cours, tu vas voir successivement :
comment trouver le signe d'une expression du type ax+b ;
comment organiser un tableau pour un produit de facteurs ;
ce qui change quand il y a un quotient ;
comment résoudre une inéquation de bout en bout ;
les erreurs que l'on rencontre le plus souvent.
Le signe de ax + b
Dans ce chapitre, les facteurs rencontrés sont le plus souvent de la forme ax+b (avec a=0) ou des carrés. Commençons par le cas ax+b. Il s'agit d'une fonction affine. Le manuel de Seconde de Sésamath rappelle que son tableau de signes tient en deux lignes : sur la première, on place les bornes du domaine de définition, sur la seconde, le signe de la fonction 1.
Démonstration · Pourquoi ce résultat ?
Supposons a>0. L'inéquation ax+b>0 équivaut à ax>−b. Comme on divise par a qui est positif, le sens de l'inégalité ne change pas : x>−ab. Donc ax+b est positif quand x est plus grand que −ab, nul en −ab et négatif en dessous.
Supposons maintenant a<0. Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité : ax>−b devient x<−ab. Cette fois, ax+b est positif quand x est plus petit que la racine, et négatif après.
Construire le tableau d'un produit
Avec une seule fonction affine, deux lignes suffisent. Dès qu'il y a plusieurs facteurs, on ajoute une ligne par facteur, plus une ligne finale pour le résultat. Le manuel Sésamath introduit précisément cette situation avec le produit de deux fonctions affines 1.
FactoriserObtenir un produit de facteurs simples
Chercher les racinesRésoudre chaque facteur égal à 0
RangerPlacer les racines dans l'ordre croissant
RemplirSigne de chaque facteur, 0 sous sa racine
MultiplierRègle des signes, colonne par colonne
Dresser le tableau d'un produit · Les étapes à suivre dans l'ordre.
Signes de (2x − 6)(x + 4)
Intervalle de x
Signe de 2x − 6
Signe de x + 4
Signe du produit
x < −4
−
−
+
−4 < x < 3
−
+
−
x > 3
+
+
+
x = −4
−
0
0
x = 3
0
+
0
Signes de (2x − 6)(x + 4) · Le produit est négatif seulement entre −4 et 3.
Les carrés et les identités remarquables
Certains facteurs ne sont pas de la forme ax+b : ce sont des carrés, comme (x−5)2. Leur signe est très simple, parce qu'un carré n'est jamais négatif.
Démonstration · Justification
Le carré d'un réel est le produit de ce réel par lui-même. Si le réel est positif, le produit est positif ; s'il est négatif, le produit de deux négatifs est positif ; s'il est nul, le produit est nul. Dans tous les cas le résultat est supérieur ou égal à 0.
Le cas d'un quotient
Un quotient B(x)A(x) obéit à la même règle des signes qu'un produit : il est positif quand A et B ont le même signe, négatif quand ils ont des signes contraires. Le manuel Sésamath traite ainsi les fonctions homographiques, qui sont des quotients de deux expressions affines 1. Il y a pourtant une différence de fond : on ne peut jamais diviser par zéro.
Résoudre une inéquation avec un tableau de signes
C'est l'usage principal du tableau en Seconde. Pour résoudre une inéquation de ce type, on regroupe tout dans le premier membre afin d'avoir zéro dans le second, puis on factorise le premier membre 3. Une fois cela fait, résoudre l'inéquation revient à lire le signe d'une expression, ce que le tableau fournit.
Les erreurs les plus fréquentes
Pour aller plus loin dans la lecture du tableau
Un tableau de signes d'une fonction contient des informations précieuses. La première ligne mentionne les bornes de l'ensemble de définition et les valeurs où la fonction change de signe 3. La dernière ligne te permet donc, sans aucun calcul supplémentaire, de répondre à plusieurs questions :
Pour quelles valeurs la courbe est-elle au-dessus de l'axe des abscisses ? Ce sont les colonnes marquées +.
Où la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Aux colonnes marquées 0.
Sur quels intervalles la courbe est-elle en dessous de l'axe ? Aux colonnes marquées −.
Exercices corrigés
Exercice 1 Dresser un premier tableau
★☆☆Environ 8 min
Soit f(x)=(2x−6)(x+4).
Calcule les valeurs de x qui annulent chaque facteur.
Dresse le tableau de signes de f.
En déduire l'ensemble des réels x tels que f(x)≤0.
La valeur numérique demandée est la plus grande valeur de x pour laquelle f(x)=0.
Indice 1
Résous séparément 2x−6=0 et x+4=0.
Indice 2
Range les deux racines dans l'ordre croissant avant de remplir le tableau.
Voir la correction pas à pas
On résout 2x−6=0 : 2x=6, donc x=3. On résout x+4=0 : x=−4.
On range les racines : −4<3. La ligne de x contient −∞, −4, 3, +∞.
Pour 2x−6 : a=2>0, donc signe − avant 3, 0 en 3, signe + après. Pour x+4 : a=1>0, donc signe − avant −4, 0 en −4, + après.
Dernière ligne, par multiplication colonne par colonne : + avant −4, 0 en −4, − entre −4 et 3, 0 en 3, + après 3.
On cherche f(x)≤0 : colonnes − et 0, soit S=[−4;3].
La plus grande valeur qui annule f est 3.
Le tableau montre que f est négative ou nulle exactement sur [−4;3]. La plus grande racine est 3.
Exercice 2 Une inéquation à résoudre
★★☆Environ 12 min
Résous dans R l'inéquation (x−2)(x+3)≤0, puis donne le nombre d'entiers relatifs qui sont solutions.
Indice 1
Les racines de x−2 et de x+3 sont 2 et −3.
Indice 2
Comme l'inégalité est large, les bornes sont comprises.
Voir la correction pas à pas
Le membre de gauche est déjà factorisé et le second membre vaut 0.
Les racines sont −3 et 2, avec −3<2.
Pour x−2 : − avant 2, + après. Pour x+3 : − avant −3, + après.
Produit : + sur ]−∞;−3[, 0 en −3, − sur ]−3;2[, 0 en 2, + sur ]2;+∞[.
On veut un produit négatif ou nul : S=[−3;2].
Les entiers de cet intervalle sont −3,−2,−1,0,1,2, soit 6 entiers.
L'ensemble solution est [−3;2], qui contient 6 entiers relatifs.
Exercice 3 Un quotient et une valeur interdite
★★★Environ 15 min
Résous dans R l'inéquation x+34−2x>0.
Donne ensuite le plus petit entier relatif qui est solution.
Indice 1
Cherche d'abord la valeur qui annule le dénominateur : elle est interdite.
Indice 2
4−2x a un coefficient a=−2 négatif : son signe est + à gauche de sa racine.
Voir la correction pas à pas
Le dénominateur x+3 s'annule en −3 : cette valeur est interdite.
Le numérateur 4−2x s'annule en 2.
Pour 4−2x : a=−2<0, donc + avant 2, 0 en 2, − après. Pour x+3 : − avant −3, + après.
Quotient : sur ]−∞;−3[, + sur − donne −. Sur ]−3;2[, + sur + donne +. Sur ]2;+∞[, − sur + donne −.
On veut un quotient strictement positif : S=]−3;2[, les deux bornes étant exclues.
Les entiers de ]−3;2[ sont −2,−1,0,1. Le plus petit est −2.
La solution est ]−3;2[ et le plus petit entier solution est −2. Test : x=0 donne 34>0 ✓.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un tableau pour n facteurs a n+2 lignes 3 : ici 3+2=5. Répondre 3 revient à oublier la ligne de x et la ligne du produit ; répondre 4 revient à n'oublier que l'une des deux.
La racine est 2 et a=3>0, donc l'expression est positive à droite de 2. Elle n'est pas négative : on a 3x>6 dès que x>2. Elle ne dépend pas de la valeur choisie, puisque le signe est le même sur tout l'intervalle.
Un carré est toujours supérieur ou égal à 0. Il vaut 0 en x=5 et il est strictement positif ailleurs. L'idée que le signe − de x−5 rende l'ensemble négatif oublie que le carré multiplie deux nombres de même signe.
Les racines sont −4 et 1. Le produit est négatif entre les deux racines, bornes exclues puisque l'inégalité est stricte. Le premier choix est l'ensemble où le produit est positif. Le troisième inclut les bornes à tort. Le dernier utilise les opposés des racines.
Le dénominateur s'annule en −1 : le quotient n'y existe pas, d'où la double barre. Le numérateur s'annule en 3 : le quotient y vaut 0. Il ne s'annule donc pas en −1, et on n'écrit pas 0 dans cette colonne.
On regroupe tout dans un membre pour avoir 0 de l'autre côté, puis on factorise : x(x−5)≥03. Diviser par x est une faute, car on ignore son signe et l'on perdrait la solution x=0. Prendre la racine carrée ne conserve pas l'inégalité, et tester au hasard ne démontre rien.
Le produit est positif à l'extérieur des racines 0 et 4, et les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte. L'intervalle ]0;4[ correspond au signe négatif. [0;4] serait la solution de x(x−4)≤0 et ]−∞;0]∪[4;+∞[ celle de x(x−4)≥0 : ce sont des inégalités larges, pas l'inégalité stricte demandée.
La racine est 3 et a=−2<0 : à droite de la racine le signe est −, donc à gauche il est +. Par exemple x=0 donne 6>0. Le signe de a donne bien le signe à droite, et non à gauche.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il factoriser avant de faire un tableau de signes ?
Le tableau ne sait lire que des produits ou des quotients, parce qu'il repose sur la règle des signes 3. Pour une somme, comme x2−4x+3, on ne peut pas combiner les signes de chaque terme. En revanche, la forme factorisée (x−1)(x−3) est un produit : on lit le signe de chaque facteur, puis on les multiplie.
Comment savoir quel signe écrire à droite de la racine ?
Regarde le coefficient a devant x dans ax+b. S'il est positif, le signe à droite est + et le signe à gauche est −. S'il est négatif, c'est l'inverse. Un test rapide avec une valeur simple, comme x=0, permet de vérifier : −2x+6 donne 6 en 0, positif, et 0 est à gauche de la racine 3.
Que faire si une racine apparaît dans plusieurs facteurs ?
Place la valeur une seule fois sur la ligne de x et mets un 0 dans cette colonne pour chacun des facteurs concernés. Si l'un des facteurs est un carré, sa ligne reste de signe + de part et d'autre, ce qui n'empêche pas le produit de changer de signe à cause des autres facteurs.
Comment écrire les crochets de la réponse finale ?
Inégalité stricte : crochets ouverts sur les bornes. Inégalité large : crochets fermés sur les valeurs où l'expression s'annule. Dans un quotient, une valeur qui annule le dénominateur est toujours exclue, donc son crochet est ouvert, même si l'inégalité est large.
Un tableau de signes peut-il servir ailleurs que pour les inéquations ?
Oui. Il permet de savoir où la courbe d'une fonction est au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses, de comparer deux expressions (en étudiant leur différence) et, plus tard, d'étudier le sens de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.