Tableaux de signes : exercices corrigés de Seconde

On résout $2x-6=0$ : $2x=6$, donc $x=3$. La fonction $f$ s'annule uniquement en $3$.

Le coefficient directeur $2$ est positif, donc $f$ est croissante ¹. Elle est négative avant $3$ et positive après.

On construit un tableau à deux lignes : la première porte $-\infty$, $3$ et $+\infty$, la seconde les signes $-$, $0$, $+$ ³.

Pour $f(x)>0$, on retient la colonne où figure $+$ : $x\in\,]3\,;+\infty[$. Le nombre $3$ est exclu car l'inégalité est stricte.

On résout $-3x+12=0$ : $-3x=-12$, donc $x=4$.

Le coefficient directeur $-3$ est négatif, donc $g$ est décroissante ¹. Elle est positive tant que $x<4$, nulle en $4$, négative ensuite.

On écrit la seconde ligne du tableau : $+$, puis $0$ sous $4$, puis $-$.

Pour $g(x)\geq 0$, on garde la colonne $+$ et le zéro : $x\in\,]-\infty\,;4]$. Le crochet est fermé en $4$ car l'inégalité est large.

Le facteur $x-2$ s'annule en $2$ et le facteur $x+5$ s'annule en $-5$. Dans l'ordre croissant : $-5$ puis $2$.

Les deux facteurs ont un coefficient de $x$ positif : chacun est négatif avant sa racine et positif après.

Avec deux facteurs, le tableau a $2+2=4$ lignes ³. On remplit les lignes des facteurs.

Sur la dernière ligne, on multiplie les signes de chaque colonne ³ : $+$, $0$, $-$, $0$, $+$.

On veut un produit positif ou nul : on garde les colonnes $+$ et les zéros. Les crochets sont fermés en $-5$ et en $2$.

Le facteur $2x-1$ s'annule en $x=\frac{1}{2}$ et le facteur $3-x$ s'annule en $x=3$. On place $\frac12$ puis $3$ sur la première ligne.

Pour $2x-1$, le coefficient $2$ est positif : signes $-$, $0$, $+$, $+$, $+$.

Pour $3-x$, le coefficient $-1$ est négatif, la fonction est décroissante ¹ : signes $+$, $+$, $+$, $0$, $-$.

Produit des colonnes : $-$, $0$, $+$, $0$, $-$. On cherche un produit strictement positif : seule la colonne centrale convient, soit $]\frac12\,;3[$.

Les entiers dans cet intervalle sont $1$ et $2$ : $0$ est trop petit (il est inférieur à $\frac12$) et $3$ est exclu. Il y en a deux.

On regroupe tout dans le premier membre pour avoir zéro à droite ³ : $x^2-4x-5\leq 0$.

On factorise : $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. Contrôle en développant : $x^2+x-5x-5=x^2-4x-5$. C'est bon.

Les facteurs s'annulent en $-1$ (pour $x+1$) et en $5$ (pour $x-5$). Les deux ont un coefficient de $x$ positif.

Signes du produit : $+$, $0$, $-$, $0$, $+$. On veut un produit négatif ou nul : on garde la colonne centrale et les deux zéros, soit $[-1\,;5]$.

Les entiers de $-1$ à $5$ sont $-1,0,1,2,3,4,5$ : cela fait $5-(-1)+1=7$ entiers.

Avec trois facteurs, le tableau comporte $3+2=5$ lignes ³.

Les valeurs qui annulent les facteurs sont $-3$, $1$ et $2$. On les range dans cet ordre sur la première ligne.

Facteur $x+3$ : $-$, $0$, $+$, $+$, $+$, $+$, $+$. Facteur $2-x$ (coefficient négatif, donc décroissant ¹) : positif jusqu'en $2$, puis négatif. Facteur $x-1$ : négatif jusqu'en $1$, positif ensuite.

Dernière ligne, colonne par colonne : $+$, $0$, $-$, $0$, $+$, $0$, $-$. On garde les colonnes $+$ et les zéros : $]-\infty\,;-3]\cup[1\,;2]$.

Vérification : $P(0)=(0+3)(2-0)(0-1)=3\times 2\times(-1)=-6$. Le résultat est négatif, ce qui correspond à la colonne $]-3\,;1[$ où le produit est négatif.

Le dénominateur $x+2$ s'annule en $x=-2$ : le quotient n'est pas défini en $-2$, cette valeur est exclue des solutions.

Numérateur $x-1$ : négatif avant $1$, nul en $1$, positif après. Dénominateur $x+2$ : négatif avant $-2$, nul en $-2$, positif après.

On range $-2$ puis $1$ sur la première ligne. Quotient, colonne par colonne : $+$, double barre en $-2$, $-$, $0$ en $1$, $+$.

On veut un quotient négatif ou nul : colonne centrale, plus le zéro en $1$. Le crochet est ouvert en $-2$ (valeur interdite) et fermé en $1$ : $]-2\,;1]$.

Les entiers de cet ensemble sont $-1$, $0$ et $1$ : il y en a trois.

Diviser par $x-1$ est interdit : si $x=1$ le facteur est nul, et si $x<1$ il est négatif, ce qui renverserait le sens de l'inégalité. Léa a perdu des solutions, par exemple $x=-5$ qui vérifie bien l'inéquation d'origine.

On regroupe tout à gauche ³ : $(x-1)(x+4)-3(x-1)\geq 0$.

On met $x-1$ en facteur : $(x-1)\big[(x+4)-3\big]=(x-1)(x+1)$. L'inéquation devient $(x-1)(x+1)\geq 0$.

Les facteurs s'annulent en $-1$ et en $1$. Produit : $+$, $0$, $-$, $0$, $+$. On garde les colonnes $+$ et les zéros : $]-\infty\,;-1]\cup[1\,;+\infty[$.

Entre $-5$ et $5$ : les entiers de $-5$ à $-1$ sont au nombre de $5$, ceux de $1$ à $5$ aussi. Le total est $10$ ; l'entier $0$ n'est pas solution.