Colinéarité de vecteurs : exercices corrigés de Seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$ ou $\vec{v}=k\vec{u}$ ⁴.
En coordonnées, $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires exactement quand $xy'-x'y=0$ .
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ⁴.
Pour des points non confondus, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires signifie $(AB)$ et $(CD)$ parallèles ⁴ ; la colinéarité sert aussi à prouver un alignement ³.
Pour trouver un paramètre : écris $xy'-x'y=0$ , résous l'équation, puis vérifie avec les coordonnées.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'enchaînent du plus simple au plus technique. Cherche d'abord seul(e) sur ton cahier. Si tu bloques, ouvre un indice, puis seulement la correction. Une correction lue sans avoir cherché apprend très peu : refais l'exercice le lendemain sans regarder.

MéthodeTester la colinéarité avec les coordonnées

Pour $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ :

Calcule $x\times y'$ puis $x'\times y$ .
Fais la différence $xy'-x'y$ .
Si elle vaut $0$ , les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Pourquoi ça marche : si $\vec{u}=k\vec{v}$ , alors $x=kx'$ et $y=ky'$ , donc $xy'-x'y=kx'y'-x'ky'=0$ . Réciproquement, si $xy'-x'y=0$ et que $\vec{v}$ n'est pas nul, par exemple avec $x'\neq 0$ , on pose $k=\dfrac{x}{x'}$ : alors $kx'=x$ et $ky'=\dfrac{xy'}{x'}=\dfrac{x'y}{x'}=y$ , donc $\vec{u}=k\vec{v}$ .

Les exercices

Exercice 1 Trouver le coefficient de proportionnalité

★☆☆Environ 4 min

Dans un repère, on donne $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(6\,;9)$ .

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
Détermine le réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ .

Indice 1

Compare les abscisses, puis les ordonnées : par quel nombre passe-t-on de 2 à 6 ?

Indice 2

Vérifie que le même nombre fonctionne pour les ordonnées.

Voir la correction pas à pas

On cherche $k$ avec les abscisses : $6=k\times 2$ , donc $k=3$ .
On teste ce $k$ sur les ordonnées : $3\times 3=9$ , ce qui est bien l'ordonnée de $\vec{v}$ .
Le même $k$ convient pour les deux coordonnées : $\vec{v}=3\vec{u}$ .

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, avec $\vec{v}=3\vec{u}$ . Le coefficient est $k=3$ .

Exercice 2 Le test du produit en croix

★☆☆Environ 5 min

On donne $\vec{u}(4\,;-6)$ et $\vec{v}(-10\,;15)$ . Calcule $xy'-x'y$ avec $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ , puis conclus.

Indice 1

Ici $x=4$ , $y=-6$ , $x'=-10$ , $y'=15$ .

Indice 2

Attention aux signes : le produit de deux négatifs est positif.

Voir la correction pas à pas

On calcule $xy'=4\times 15=60$ .
On calcule $x'y=(-10)\times(-6)=60$ .
On fait la différence : $xy'-x'y=60-60=0$ .
Le résultat est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.

Comme $xy'-x'y=0$ , les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. On vérifie : $\vec{v}=-\dfrac{5}{2}\vec{u}$ , car $-\dfrac{5}{2}\times 4=-10$ et $-\dfrac{5}{2}\times(-6)=15$ .

Exercice 3 Une abscisse manquante

★☆☆Environ 5 min

Les vecteurs $\vec{u}(3\,;5)$ et $\vec{v}(x\,;20)$ sont colinéaires. Détermine $x$ .

Indice 1

Écris la condition $xy'-x'y=0$ en nommant bien chaque coordonnée.

Indice 2

Tu obtiens une équation du premier degré en $x$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $\vec{u}(3\,;5)$ et $\vec{v}(x\,;20)$ , la condition de colinéarité s'écrit $3\times 20-x\times 5=0$ .
On simplifie : $60-5x=0$ .
On isole $x$ : $5x=60$ , donc $x=12$ .
Contrôle : $\vec{v}(12\,;20)=4\vec{u}$ , car $4\times 3=12$ et $4\times 5=20$ .

On trouve $x=12$ .

Exercice 4 Trois points sont-ils alignés ?

★★☆Environ 7 min

Dans un repère, on donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;8)$ et $C(-2\,;-4)$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Calcule $xy'-x'y$ pour $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

Indice 1

Calcule d'abord les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$ : arrivée moins départ.

Indice 2

Les deux vecteurs ont la même origine $A$ : s'ils sont colinéaires, les points sont alignés.

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}(4-1\,;8-2)=(3\,;6)$ .
$\overrightarrow{AC}(-2-1\,;-4-2)=(-3\,;-6)$ .
On calcule $3\times(-6)-(-3)\times 6=-18+18=0$ .
Les deux vecteurs sont colinéaires et ont la même origine $A$ : les trois points sont sur une même droite.

Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés. On voit même que $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$ : $A$ est le milieu de $[BC]$ .

Exercice 5 Deux droites parallèles ?

★★☆Environ 8 min

On donne $A(0\,;1)$ , $B(3\,;4)$ , $C(1\,;-2)$ et $D(5\,;2)$ . Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Calcule $xy'-x'y$ pour $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ , puis vérifie qu'elles ne sont pas confondues.

Indice 1

Il faut les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ , pas $\overrightarrow{AC}$ .

Indice 2

Pour exclure des droites confondues, regarde si $C$ appartient à $(AB)$ .

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}(3-0\,;4-1)=(3\,;3)$ .
$\overrightarrow{CD}(5-1\,;2-(-2))=(4\,;4)$ .
On calcule $3\times 4-4\times 3=12-12=0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ou confondues.
La droite $(AB)$ a pour points $(0\,;1)$ et $(3\,;4)$ : ses points vérifient $y=x+1$ . Pour $C(1\,;-2)$ , on aurait $y=2$ , ce qui est faux : $C\notin(AB)$ .
Les droites ne sont donc pas confondues.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et distinctes.

Exercice 6 Un paramètre dans les coordonnées

★★☆Environ 8 min

Soit $x$ un réel. On donne $\vec{u}(x+1\,;6)$ et $\vec{v}(2\,;3)$ . Pour quelle valeur de $x$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?

Indice 1

Applique la condition « produit en croix nul » : l'abscisse de $\vec{u}$ est ici $x+1$ , son ordonnée $6$ .

Indice 2

Pense à mettre des parenthèses autour de $x+1$ quand tu multiplies.

Voir la correction pas à pas

La condition s'écrit $(x+1)\times 3-2\times 6=0$ .
On développe : $3x+3-12=0$ .
On simplifie : $3x-9=0$ , donc $x=3$ .
Contrôle : pour $x=3$ , $\vec{u}(4\,;6)=2\vec{v}$ .

Les vecteurs sont colinéaires exactement pour $x=3$ .

Exercice 7 Aligner trois points avec une inconnue

★★★Environ 10 min

Dans un repère, on donne $A(1\,;1)$ , $B(x\,;3)$ et $C(7\,;5)$ , où $x$ est un réel. Détermine $x$ pour que $A$ , $B$ , $C$ soient alignés.

Indice 1

Exprime $\overrightarrow{AB}$ avec l'inconnue : $(x-1\,;2)$ .

Indice 2

Écris que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}(x-1\,;3-1)=(x-1\,;2)$ .
$\overrightarrow{AC}(7-1\,;5-1)=(6\,;4)$ .
Alignement équivaut ici à la colinéarité : $(x-1)\times 4-6\times 2=0$ .
On résout : $4x-4-12=0$ , donc $4x=16$ et $x=4$ .
Contrôle : $\overrightarrow{AB}(3\,;2)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;4)=2\overrightarrow{AB}$ .

Les points sont alignés pour $x=4$ , soit $B(4\,;3)$ . Dans ce cas, $B$ est le milieu de $[AC]$ .

Exercice 8 Construire un trapèze

★★★Environ 12 min

On donne $A(0\,;0)$ , $B(4\,;2)$ , $C(3\,;4)$ et $D(d\,;3)$ , où $d$ est un réel. Détermine $d$ pour que $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles, puis exprime $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ .

Indice 1

Écris les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ avec $d$ .

Indice 2

Utilise $xy'-x'y=0$ avec $\overrightarrow{AB}(4\,;2)$ .

Indice 3

Pour le coefficient final, compare les abscisses de $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{AB}$ .

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}(4\,;2)$ et $\overrightarrow{CD}(d-3\,;3-4)=(d-3\,;-1)$ .
La condition de parallélisme est la colinéarité : $4\times(-1)-2\times(d-3)=0$ .
On développe : $-4-2d+6=0$ , donc $2-2d=0$ et $d=1$ .
Alors $\overrightarrow{CD}(-2\,;-1)$ . Comme $-2=-\dfrac{1}{2}\times 4$ et $-1=-\dfrac{1}{2}\times 2$ , on a $\overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
Les droites ne sont pas confondues : la droite $(AB)$ a pour équation $y=\dfrac{x}{2}$ , et $C(3\,;4)$ n'y est pas ( $\dfrac{3}{2}\neq 4$ ).

Pour $d=1$ , soit $D(1\,;3)$ , les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et distinctes : le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ , avec $\overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle méthode employer : le coefficient $k$ ou le produit en croix ?

Le coefficient $k$ est pratique quand les coordonnées sont des nombres entiers simples : on cherche par quoi multiplier. Le produit en croix $xy'-x'y=0$ marche toujours, y compris quand une coordonnée est nulle ou quand il y a une inconnue. En contrôle, c'est la méthode la plus sûre dès qu'un paramètre apparaît.

Pourquoi vérifier que deux droites ne sont pas confondues ?

Deux vecteurs colinéaires donnent la même direction, mais deux droites de même direction peuvent être distinctes ou confondues. Si l'énoncé demande "parallèles", il suffit souvent de la colinéarité. S'il demande "strictement parallèles" ou "distinctes", teste en plus qu'un point de l'une n'est pas sur l'autre.

Sources

Édubase - La colinéarité des vecteurs en classe de seconde, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources pour l'enseignement des mathématiques en seconde, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Tests de positionnement Classe de seconde Mathématiques, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Colinéarité, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Trouver le coefficient de proportionnalité

Exercice 2 Le test du produit en croix

Exercice 3 Une abscisse manquante

Exercice 4 Trois points sont-ils alignés ?

Exercice 5 Deux droites parallèles ?

Exercice 6 Un paramètre dans les coordonnées

Exercice 7 Aligner trois points avec une inconnue

Exercice 8 Construire un trapèze

Les questions qu'on se pose

Sources

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Collège

Lycée

Supérieur