Colinéarité de AB et AC : les points A, B, C sont alignés ; colinéarité de AB et CD : les droites (AB) et (CD) sont parallèles 34.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la colinéarité de deux vecteurs du plan. Il suppose que tu sais lire les coordonnées d'un vecteur et calculer celles de AB à partir de A et B. Il couvre la définition, le calcul avec les coordonnées, puis les deux applications que le programme de seconde met en avant : l'alignement de trois points et le parallélisme de deux droites 3.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La colinéarité exprime qu'un vecteur est un multiple de l'autre 4. Avoir la même norme est faux : u et 2u sont colinéaires avec des normes différentes. La perpendicularité est une tout autre notion, elle ne dit rien d'un multiple.
C'est vrai : pour tout vecteur v, on peut écrire 0=0×v, ce qui correspond à la définition avec k=04. L'idée que le vecteur nul « n'a pas de direction » ne l'exclut pas de la définition.
On écrit 2×y−3×4=0, soit 2y=12 et y=6. Vérification : v=2u. L'erreur tentante est de répondre y=4 en recopiant l'abscisse, ou y=5 en gardant l'écart de 1 entre les coordonnées : aucune des deux ne respecte la proportionnalité.
Pour (3;−2) et (−6;4) : 3×4−(−6)×(−2)=12−12=0, donc ils sont colinéaires (le second vaut −2 fois le premier). Les autres couples donnent −1, −2 et −2, tous non nuls. Doubler l'abscisse sans doubler l'ordonnée, comme dans (2;5) et (4;9), ne suffit pas.
C'est exact, et c'est ce qui donne à la colinéarité son intérêt en géométrie : elle traduit le parallélisme par un calcul 43. Il faut simplement que les points de chaque couple soient distincts pour que les droites existent.
On calcule AB(2;3) et AC(6;9) ; puis 2×9−3×6=0. Les vecteurs sont colinéaires, donc les trois points sont alignés 3. Comparer seulement 2 et 6 est une erreur : on cherche une proportionnalité, pas l'égalité. Des longueurs différentes n'empêchent pas la colinéarité.
On a AB(2;4) et AC(5;y−1). La condition est 2(y−1)−4×5=0, soit y−1=10 et y=11. Attention à ne pas oublier de soustraire l'ordonnée de A : utiliser y au lieu de y−1 donnerait y=10, ce qui est faux.
On trouve CD(4;3), puis 2×3−1×4=2, qui n'est pas nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles 4. Les autres arguments n'ont aucun rapport avec le critère. Le fait que A soit l'origine ne change rien au calcul.
(1;−2) vaut 21u ; (−3;6) vaut −23u ; le vecteur nul vaut 0×u4. Pour (4;8), on obtient 2×8−(−4)×4=32, non nul : il n'est pas colinéaire. Les coordonnées doivent être proportionnelles avec le même rapport, signes compris.
L'ensemble des vecteurs colinéaires à un vecteur non nul u est formé des ku, avec k réel : ils sont tous portés par une même droite vectorielle 4. Limiter à k>0 oublie les vecteurs de sens opposé ; ajouter un réel à un vecteur n'a pas de sens.
On a v=−2u : le coefficient k=−2 est négatif, donc les vecteurs sont colinéaires mais de sens contraires. Un sens opposé n'empêche pas la colinéarité, et des normes différentes non plus.
C'est faux : le résultat doit être exactement 0. Tout résultat différent de 0, même proche de 0, prouve que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Confondre « petit » et « nul » est une erreur courante.
La condition s'écrit 3×10−(k+1)×6=0, soit 30=6(k+1), donc k+1=5 et k=4. Si tu réponds 5, tu as oublié que l'ordonnée de u est k+1 et non k.
La colinéarité de AB et AC caractérise l'alignement de A, B, C3. L'égalité AB=AC imposerait B=C, ce qui exclut cette réponse. Une même norme décrit un triangle isocèle, pas un alignement.
On compare les abscisses : 6=2k, donc k=3. On vérifie avec les ordonnées : 3×(−3)=−9. Le même coefficient convient aux deux coordonnées, ce qui confirme la colinéarité. Répondre 31 revient à écrire v=ku, pas l'inverse.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le critère $xy' - x'y = 0$ fonctionne-t-il ?
Si u=kv, alors x=kx′ et y=ky′. En remplaçant, xy′−x′y=kx′y′−x′ky′=0 : les deux produits sont égaux. Ce calcul évite de chercher le coefficient k à la main, surtout quand une coordonnée vaut 0.
À quoi sert la colinéarité en géométrie ?
Elle transforme deux questions de géométrie en calculs. Pour savoir si trois points A, B, C sont alignés, on teste la colinéarité de AB et AC. Pour savoir si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, on teste celle de AB et CD34.
Que faire si l'un des vecteurs est nul dans un test ?
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, car 0=0×v4. Le critère du calcul croisé le confirme : avec u(0;0), on obtient toujours 0. Mais pour des points, un vecteur nul signifie que deux points sont confondus : la droite qu'ils devaient définir n'existe plus.