Calcul fractionnaire : exercices corrigés de 2de

Les dénominateurs sont égaux : on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. $A=\dfrac{3+1}{8}=\dfrac{4}{8}$.

On simplifie : $4$ et $8$ sont tous deux divisibles par $4$. $\dfrac{4}{8}=\dfrac{4\div 4}{8\div 4}=\dfrac{1}{2}$.

Contrôle : $\dfrac{3}{8}=0{,}375$ et $\dfrac{1}{8}=0{,}125$, la somme fait $0{,}5$, soit $\dfrac{1}{2}$.

Les dénominateurs $4$ et $10$ ne sont pas multiples l'un de l'autre. On cherche un multiple commun : $20$ convient, car $20=4\times 5=10\times 2$.

On transforme la première fraction : $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\times 5}{4\times 5}=\dfrac{5}{20}$.

On transforme la seconde : $\dfrac{3}{10}=\dfrac{3\times 2}{10\times 2}=\dfrac{6}{20}$.

On additionne : $B=\dfrac{5}{20}+\dfrac{6}{20}=\dfrac{11}{20}$.

$11$ est premier et ne divise pas $20$ : la fraction est irréductible. En décimal, $\dfrac{11}{20}=\dfrac{55}{100}=0{,}55$.

Les deux nombres sont divisibles par $10$ : $\dfrac{90}{120}=\dfrac{9}{12}$.

$9$ et $12$ sont tous deux divisibles par $3$ : $\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$.

$3$ et $4$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ : la fraction est irréductible.

Contrôle : $90=30\times 3$ et $120=30\times 4$, donc on aurait pu diviser directement par $30$.

Valeur décimale : $3\div 4=0{,}75$.

Multiples de $12$ : $12$, $24$ ; et $24=8\times 3$. Le dénominateur commun $24$ convient pour $12$ et $8$, et pour $3$ aussi, car $24=3\times 8$.

$\dfrac{7}{12}=\dfrac{7\times 2}{12\times 2}=\dfrac{14}{24}$.

$\dfrac{5}{8}=\dfrac{5\times 3}{8\times 3}=\dfrac{15}{24}$.

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 8}{3\times 8}=\dfrac{16}{24}$.

On compare les numérateurs : $14<15<16$, donc $\dfrac{14}{24}<\dfrac{15}{24}<\dfrac{16}{24}$.

On écrit le produit : $C=\dfrac{5\times 12}{8\times 25}=\dfrac{60}{200}$.

On simplifie avant de calculer plus loin : $60$ et $200$ sont divisibles par $20$. $60\div 20=3$ et $200\div 20=10$.

On obtient $C=\dfrac{3}{10}$, irréductible car $3$ ne divise pas $10$.

Variante en décomposant : $5\times 12=5\times 3\times 4$ et $8\times 25=2\times 4\times 5\times 5$ ; les facteurs $5$ et $4$ se simplifient, il reste $\dfrac{3}{2\times 5}=\dfrac{3}{10}$.

Valeur décimale : $\dfrac{3}{10}=0{,}3$.

Mettons les fractions sur le même dénominateur : $\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}$.

Fraction lue en deux jours : $\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}$.

Fraction restante : $1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{8}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$.

Nombre de pages : prendre les $\dfrac{3}{8}$ de $240$, c'est calculer $\dfrac{3}{8}\times 240=\dfrac{3\times 240}{8}=3\times 30=90$.

Contrôle : Léa a lu $90+60=150$ pages (lundi $\dfrac{3}{8}\times 240=90$, mardi $\dfrac{1}{4}\times 240=60$), et $240-150=90$.

On multiplie chaque terme par $8$, ce qui conserve l'égalité : $8\times\dfrac{3x}{4}+8\times\dfrac{1}{2}=8\times\dfrac{7}{8}$.

On simplifie chaque terme : $6x+4=7$.

On isole le terme en $x$ : $6x=7-4=3$.

On divise par $6$ : $x=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

Vérification : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}$, puis $\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{8}=\dfrac{7}{8}$. L'égalité est bien vraie.

Vraie valeur : $24=2\times 12$, donc $\dfrac{12}{24}=\dfrac{12}{2\times 12}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

L'élève a trouvé $\dfrac{1}{4}=0{,}25$, ce qui est différent : son résultat est faux.

Explication : dans $12$ le chiffre $2$ est un chiffre d'écriture, pas un facteur. Diviser le numérateur et le dénominateur par $2$ donnerait $\dfrac{6}{12}$, pas $\dfrac{1}{4}$. Le « barrage » ne supprime pas un facteur, il détruit l'écriture des nombres.²

Simplification correcte : on divise par $12$ le haut et le bas : $\dfrac{12\div 12}{24\div 12}=\dfrac{1}{2}$. Ou en deux fois : par $2$ puis par $6$, $\dfrac{12}{24}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.

Règle de sûreté : avant de barrer, écris les nombres sous forme de produits. On ne barre que ce qui est un facteur commun : $\dfrac{3\times 4}{3\times 8}=\dfrac{4}{8}$.