Probabilités conditionnelles et arbres pondérés : cours de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la chance de B quand on sait que A est réalisé ; elle prolonge la fréquence conditionnelle d'un tableau croisé.
Dans un arbre pondéré, chaque branche porte une probabilité conditionnelle, et la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Pour un chemin : on multiplie les probabilités le long des branches. Pour plusieurs chemins qui mènent au même événement : on additionne les résultats.
Méthode : repérer les étapes, tracer l'arbre, vérifier que chaque nœud somme à 1, repérer les chemins utiles, multiplier puis additionner.
Piège classique : confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ , ou confondre une fréquence observée avec une probabilité d'un modèle.

Introduction : quand une information change la donne

Imagine un sac contenant 5 jetons rouges et 3 jetons bleus. Tu tires un jeton sans le remettre, puis un deuxième. La chance que le deuxième soit rouge n'est pas la même selon que le premier était rouge ou bleu : le contenu du sac a changé entre les deux tirages. Cette idée, la probabilité dépend d'une information déjà connue, est le cœur du chapitre.

Tu connais déjà les fréquences conditionnelles dans un tableau croisé : on y regarde la proportion d'un caractère à l'intérieur d'un groupe seulement. Les probabilités conditionnelles sont la version « modèle » de cette idée, appliquée à des expériences aléatoires. Les ressources pédagogiques officielles rapprochent d'ailleurs ces deux notions et insistent sur la différence entre une fréquence, observée sur des données, et une probabilité, qui appartient à un modèle ¹.

Pour représenter une expérience qui se déroule en plusieurs étapes, on dessine un schéma en arbre. Un arbre de probabilité est un schéma qui résume une expérience aléatoire lorsqu'on connaît des probabilités conditionnelles ². Dans ce cours, tu vas apprendre à le lire, à le construire, puis à t'en servir pour calculer.

Des fréquences conditionnelles aux probabilités conditionnelles

Commençons par un cas concret où l'on compte. Dans un lycée, on interroge 200 élèves de seconde sur leur mode de restauration. Le tableau croisé donne la répartition selon le sexe et le statut demi-pensionnaire (D) ou externe (E).

Tableau croisé : sexe et restauration (200 élèves)
	Demi-pensionnaire	Externe	Total
Filles	66	44	110
Garçons	36	54	90
Total	102	98	200

Tableau croisé : sexe et restauration (200 élèves) · Effectifs d'un lycée fictif.

Maintenant, on choisit un élève au hasard parmi les 200. Chaque élève a la même chance d'être choisi, donc les proportions du tableau deviennent des probabilités. Notons F l'événement « l'élève est une fille » et D l'événement « l'élève est demi-pensionnaire ». On calcule $P(F)=\dfrac{110}{200}=0{,}55$ et $P(D)=0{,}51$ .

L'arbre pondéré : règles et vocabulaire

Un arbre se lit de gauche à droite. À gauche, le point de départ ; chaque étape de l'expérience ajoute une série de branches. Chaque branche se termine par un nœud portant le nom de l'événement obtenu à cette étape. On écrit sur la branche un nombre : sa pondération.

La première règle est un contrôle précieux. À partir d'un nœud, les branches décrivent toutes les issues possibles de l'étape suivante, et elles s'excluent les unes les autres : une et une seule se produit. Leurs probabilités doivent donc totaliser 1. Si tu trouves 0,9 ou 1,1, tu as fait une erreur.

Pondérations de l'arbre du lycée
Départ	Branche	Pondération
Début	F	0,55
Début	G	0,45
F	D	0,6
F	E	0,4
G	D	0,4
G	E	0,6

Pondérations de l'arbre du lycée · Les branches issues d'un même départ ont une somme égale à 1.

Calculer la probabilité d'un chemin

Un chemin de l'arbre correspond à une intersection d'événements : par exemple « fille et demi-pensionnaire ». Comment obtenir sa probabilité ? Raisonnons avec les effectifs du tableau, puisque tout y est équiprobable.

Démonstration · Pourquoi on multiplie les branches

Sur 200 élèves, il y a 110 filles : c'est la fraction $\dfrac{110}{200}$ des élèves. Parmi ces filles, la fraction $\dfrac{66}{110}$ est demi-pensionnaire. La fraction des élèves qui sont à la fois filles et demi-pensionnaires est donc « la fraction $\dfrac{66}{110}$ de la fraction $\dfrac{110}{200}$ », ce qui se calcule par un produit :

$\dfrac{110}{200}\times\dfrac{66}{110}=\dfrac{66}{200}=0{,}33.$

On retrouve bien l'effectif direct du tableau : 66 élèves sur 200. Le produit des deux pondérations donne la probabilité du chemin : $P(F\cap D)=P(F)\times P_F(D)=0{,}55\times 0{,}6=0{,}33$ .

Plusieurs chemins : la probabilité totale

Souvent, l'événement qui t'intéresse se produit au bout de plusieurs chemins. Par exemple « l'élève est demi-pensionnaire » arrive après le chemin F→D et après le chemin G→D. Ces chemins s'excluent mutuellement (un élève ne peut pas être à la fois fille et garçon), donc on peut additionner leurs probabilités.

Méthode : construire et exploiter un arbre

RepérerLes étapes et les événements de chaque étape
TracerÉcrire les probabilités sur les branches
ContrôlerChaque nœud : somme des branches égale à 1
MultiplierLe long de chaque chemin utile
AdditionnerLes chemins qui mènent à l'événement

Méthode de l'arbre pondéré

ExempleUn exemple complet rédigé

Dans une entreprise, 40 % des salariés viennent au travail en transport en commun (T) et les autres en voiture ou à vélo (V). Parmi ceux qui prennent les transports, 25 % arrivent en retard (R) ; parmi les autres, 10 % arrivent en retard.

Arbre. Première étape : $P(T)=0{,}4$ et $P(V)=0{,}6$ . Deuxième étape : $P_T(R)=0{,}25$ , donc $P_T(\overline{R})=0{,}75$ ; $P_V(R)=0{,}10$ , donc $P_V(\overline{R})=0{,}90$ .

Chemins vers R. T→R : $0{,}4\times0{,}25=0{,}10$ . V→R : $0{,}6\times0{,}10=0{,}06$ .

Total. $P(R)=0{,}10+0{,}06=0{,}16$ . Un salarié choisi au hasard est en retard avec une probabilité de 0,16.

Erreurs fréquentes et bons réflexes

Appliquer l'idée avec des effectifs : un test de dépistage

Une astuce aide beaucoup quand les pourcentages semblent abstraits : imaginer une population de 10 000 personnes et transformer les probabilités en effectifs. Cette démarche rappelle le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » sur lequel s'appuie un scénario des ressources officielles ¹.

Exercices corrigés

Exercice 1 Deux jetons rouges de suite

★☆☆Environ 8 min

Un sac contient 5 jetons rouges et 3 jetons bleus. On tire deux jetons successivement, sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux jetons rouges ? Donne la valeur exacte puis une valeur arrondie au dix-millième.

Indice 1

Dessine un arbre à deux étapes.

Indice 2

Au deuxième tirage, il ne reste que 7 jetons.

Voir la correction pas à pas

Premier tirage : $P(R_1)=\dfrac58$ .
Si le premier jeton est rouge, il reste 4 rouges sur 7 jetons : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac47$ .
On multiplie les deux branches du chemin : $\dfrac58\times\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}$ .
Valeur approchée : $\dfrac5{14}\approx0{,}3571$ .

La probabilité d'obtenir deux jetons rouges est $\dfrac5{14}\approx0{,}3571$ .

Exercice 2 Retard au travail

★★☆Environ 12 min

Dans une entreprise, 40 % des salariés prennent les transports en commun (T). Parmi eux, 25 % arrivent en retard. Parmi les autres salariés (V), 10 % arrivent en retard. On choisit un salarié au hasard. Quelle est la probabilité qu'il arrive en retard ?

Indice 1

Complète l'arbre : $P(V)=1-P(T)$ .

Indice 2

Deux chemins mènent à « en retard ».

Voir la correction pas à pas

Premier niveau : $P(T)=0{,}4$ et $P(V)=0{,}6$ .
Chemin T→R : $0{,}4\times0{,}25=0{,}1$ .
Chemin V→R : $0{,}6\times0{,}10=0{,}06$ .
Les deux chemins s'excluent : on additionne, $0{,}1+0{,}06=0{,}16$ .

La probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit en retard est $0{,}16$ , soit 16 %.

Exercice 3 Part de malades parmi les positifs

★★★Environ 15 min

Une maladie touche 4 % d'une population. Un test est positif pour 90 % des malades et pour 5 % des personnes saines. On considère une population de 10 000 personnes. Quelle proportion des personnes au test positif sont réellement malades ? Arrondis au centième.

Indice 1

Transforme les pourcentages en effectifs.

Indice 2

Le dénominateur est le nombre total de tests positifs.

Voir la correction pas à pas

Malades : $10\,000\times0{,}04=400$ . Personnes saines : $10\,000-400=9\,600$ .
Malades positifs : $400\times0{,}9=360$ .
Sains positifs : $9\,600\times0{,}05=480$ .
Total des positifs : $360+480=840$ .
Proportion de malades parmi les positifs : $\dfrac{360}{840}\approx0{,}43$ .

Environ 43 % des personnes testées positives sont malades, ce qui reste bien inférieur aux 90 % de malades détectés par le test.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre une fréquence conditionnelle et une probabilité conditionnelle ?

La fréquence conditionnelle se calcule sur des données observées (un tableau croisé réel). La probabilité conditionnelle appartient à un modèle, par exemple un tirage au hasard parmi toute la population. Quand tout est équiprobable, les calculs sont identiques, mais l'idée change : on décrit un échantillon d'un côté, on modélise une expérience de l'autre ¹.

Comment savoir s'il faut multiplier ou additionner ?

On multiplie le long d'un même chemin (« et » entre les étapes). On additionne les chemins qui mènent au même résultat final (« ou » entre des cas qui s'excluent). Un résultat final supérieur à 1 indique qu'on a additionné au lieu de multiplier.

Faut-il toujours dessiner un arbre ?

Non, mais il aide dès qu'une expérience a plusieurs étapes ou qu'on donne des pourcentages « parmi ceux qui ». Il met en évidence les probabilités conditionnelles et protège contre les oublis de chemins. Un tableau croisé peut suffire quand on dispose directement des effectifs.

Pourquoi les branches du deuxième niveau ne sont-elles pas identiques ?

Parce que ce sont des probabilités conditionnelles : leur valeur dépend du nœud de départ ². Dans un tirage sans remise, le contenu du sac change selon le premier résultat. Dans une expérience où les étapes n'ont aucun lien (deux lancers de dé), les branches du deuxième niveau se répètent à l'identique.

Que faire si l'énoncé donne un pourcentage « parmi... » ?

Ce « parmi » signale une condition : le pourcentage est une probabilité conditionnelle et doit se placer sur la branche issue du groupe cité. Par exemple « 25 % des utilisateurs de transports sont en retard » devient $P_T(R)=0{,}25$ .

Sources

Ressources pédagogiques Éduscol, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Arbre de probabilité, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Introduction : quand une information change la donne

Des fréquences conditionnelles aux probabilités conditionnelles

L'arbre pondéré : règles et vocabulaire

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Plusieurs chemins : la probabilité totale

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Erreurs fréquentes et bons réflexes

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Exercices corrigés

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