Mathématiques · Seconde
Probabilités conditionnelles et arbres pondérés : quiz de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un arbre pondéré résume une expérience aléatoire dont on connaît des probabilités conditionnelles 2.
- Sur chaque branche, le nombre inscrit est la probabilité conditionnelle de l'événement d'arrivée sachant celui de départ ; les poids des branches issues d'un même sommet ont pour somme 1 2.
- La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les poids rencontrés ; celle d'un événement s'obtient en additionnant les chemins qui y mènent.
- Une fréquence se mesure sur des données observées, une probabilité appartient à un modèle : ne confonds pas les deux 1.
Avant de commencer
Ce quiz couvre l'ensemble de la notion : lire un arbre, repérer ce que représente chaque nombre, calculer la probabilité d'un chemin, puis celle d'un événement qui peut se réaliser par plusieurs chemins. Tu y retrouveras aussi un rappel sur les fréquences conditionnelles lues dans un tableau croisé, qui préparent directement aux probabilités conditionnelles.
Prends un brouillon et une calculatrice. Pour chaque question, essaie de répondre avant de lire l'explication : c'est ainsi que les erreurs se repèrent. Les explications disent toujours pourquoi la bonne réponse est juste, et pourquoi l'erreur la plus tentante est fausse.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le poids d'une branche de vers est la probabilité conditionnelle de sachant 2. L'erreur tentante est d'inverser les deux événements : on lit alors , qui est en général un autre nombre. La probabilité que et arrivent ensemble s'obtient, elle, en multipliant le poids de cette branche par celui de la branche qui mène à .
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C'est vrai 2. Depuis un sommet, les branches décrivent toutes les issues possibles de l'étape suivante : l'une d'elles se réalise forcément, d'où une somme de . Il serait faux de croire que la somme de tous les nombres de l'arbre vaut : dès qu'il y a deux niveaux, elle est plus grande, car chaque sommet a ses propres branches qui totalisent .
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Les poids issus d'un même sommet ont pour somme 2. On calcule donc . Répondre revient à additionner les deux poids connus au lieu de chercher ce qui manque pour atteindre .
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Le chemin passe par deux branches : on multiplie leurs poids, soit . Additionner donnerait , ce qui n'a pas de sens ici : on ne fait une somme que pour regrouper des chemins différents. Le produit est plus petit que chacun des facteurs, ce qui est normal : réaliser deux événements est plus rare que d'en réaliser un seul.
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C'est faux. se calcule dans la situation où est réalisé, dans celle où est réalisé : ce ne sont pas les mêmes populations. Exemple : parmi les élèves d'un lycée qui jouent au football, la part de garçons peut être très différente de la part de footballeurs parmi les garçons. Les deux nombres ne coïncident que dans des cas particuliers.
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Il faut que la somme fasse 2. Les listes , et conviennent. La liste et donne : c'est impossible, car les poids issus d'un même sommet doivent totaliser exactement . Deux poids égaux, comme les deux , ne posent aucun problème.
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L'événement s'obtient par deux chemins : en passant par , ou en passant par . On additionne les deux produits : . On additionne ainsi les chemins qui partent de et de son contraire 2. Répondre ou revient à n'utiliser qu'une seule branche.
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Au premier tirage, . Une rouge est partie : il reste rouges sur boules, donc . Le chemin vaut . L'erreur fréquente est de reprendre au second tirage, comme si la boule était remise : le poids de la deuxième branche dépend du résultat de la première, et c'est justement l'intérêt d'une probabilité conditionnelle.
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Comme , on a . Si tu réponds , tu donnes la probabilité de la conjonction sans tenir compte du fait que l'on se place dans le cas où est réalisé. Si tu réponds , tu as multiplié au lieu de diviser.
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On se limite aux élèves de la cantine et on calcule la part de filles : . Diviser par donnerait : ce serait la fréquence des filles de la cantine dans tout le lycée, c'est-à-dire une fréquence de l'intersection, pas une fréquence conditionnelle. C'est le mot « parmi » qui indique la population de référence.
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Une fréquence est calculée sur un échantillon réellement observé, une probabilité est la valeur attribuée par un modèle ; les ressources officielles insistent sur cette distinction quand elles introduisent les probabilités conditionnelles 1. La fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre et ne dépasse pas systématiquement la probabilité. Un pourcentage peut d'ailleurs exprimer l'une comme l'autre.
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C'est vrai : chaque poids est une probabilité conditionnelle, et la probabilité de voir toutes les étapes se réaliser est le produit de la probabilité de la première étape par celles des suivantes, calculées sachant ce qui précède. L'addition n'intervient qu'ensuite, pour regrouper plusieurs chemins qui mènent au même événement.
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Un poids de deuxième niveau est une probabilité conditionnelle : il porte sur dans le cas où s'est produit 2. La deuxième proposition le prend pour une probabilité globale, ce qu'il n'est pas. La troisième confond poids de branche et probabilité du chemin complet, qui exigerait de multiplier par .
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Une partition demande des ensembles disjoints d'union égale à l'ensemble de départ 2. Pair et impair se partagent les six faces sans recouvrement. Pair et multiple de 3 se recouvrent en 6 et oublient 1 et 5. « Moins de 3 » et « plus de 3 » oublient la face 3. La dernière famille compte la face 3 deux fois.
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On additionne les trois chemins qui aboutissent à : . On peut additionner parce que , , ne se recouvrent pas et couvrent tous les cas possibles 2. Additionner seulement les poids donnerait : on oublierait de pondérer par la probabilité de chaque branche de départ.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois multiplier ou additionner dans un arbre ?
Le long d'un chemin, on multiplie : on cherche la probabilité que plusieurs étapes se réalisent à la suite. Entre plusieurs chemins qui mènent au même événement, on additionne : l'un ou l'autre peut se produire, et ils s'excluent mutuellement. Pour t'en souvenir, associe « et » à la multiplication et « ou » à l'addition.
Pourquoi un arbre sert-il à quelque chose, alors qu'on peut tout calculer sans dessin ?
L'arbre rend visibles les étapes et les conditions de l'expérience. Il évite d'oublier un chemin et permet de vérifier d'un coup d'œil que les poids de chaque sommet totalisent 2. Il sert aussi à organiser un calcul comme celui de la formule des probabilités totales, où chaque branche de départ a son poids propre.
Quelle est la différence avec une fréquence conditionnelle lue dans un tableau croisé ?
Une fréquence conditionnelle se calcule sur des données observées, en se limitant à une sous-population. Une probabilité conditionnelle, elle, appartient à un modèle de l'expérience aléatoire. Le raisonnement est le même, « parmi ceux qui… », mais les ressources officielles rappellent qu'il faut bien distinguer fréquence et probabilité 1.
Sources
- Ressources pédagogiques Éduscol, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
- Arbre de probabilité, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
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