Probabilités sur un ensemble fini : cours de Seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une expérience aléatoire a un univers $\Omega$ fini : l'ensemble de ses issues. Un événement est une partie de $\Omega$ .
À chaque issue on associe un nombre entre 0 et 1 ; la somme sur toutes les issues vaut 1. La probabilité d'un événement est la somme de celles de ses issues.
En situation d'équiprobabilité : $P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues de }A}{\text{nombre d'issues de }\Omega}$ .
Complémentaire : $P(\overline{A})=1-P(A)$ . Réunion : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
Avant tout calcul : décrire l'univers, vérifier si les issues sont équiprobables, traduire l'événement en ensemble d'issues.

Introduction : mesurer le hasard

Lancer un dé, tirer une carte, interroger un élève au hasard dans une classe : à chaque fois, tu ne peux pas prévoir le résultat, mais tu peux dresser la liste de tout ce qui est possible. Les probabilités servent à attribuer un nombre à la « chance » qu'un résultat se produise.

On peut voir une probabilité comme la part que représente un événement parmi tous les cas qui peuvent arriver ². L'idée est simple, mais pour s'en servir sans erreur, il faut un vocabulaire précis. Dans ce chapitre, tu décris une situation avec des ensembles : tu lis les événements comme des parties d'un ensemble, puis tu mènes les calculs de probabilité jusqu'au bout ¹.

Tu t'appuies sur ce que tu as déjà vu : les fréquences, les tableaux croisés et les fréquences conditionnelles. Une probabilité ressemble à une fréquence, mais elle exprime ce qu'on attend d'une expérience avant de la réaliser, et non ce qu'on a relevé après coup.

Univers, issues et événements

Probabilité d'une issue, loi de probabilité

Démonstration · Pourquoi $P(A)$ reste entre 0 et 1

Les probabilités des issues sont positives, donc leur somme est positive : $P(A)\ge 0$ . Les issues de $A$ forment une partie de $\Omega$ ; on ajoute donc, parmi tous les $p_i$ dont la somme totale vaut 1, seulement certains d'entre eux. Comme les autres sont positifs, la somme partielle ne dépasse pas 1 : $P(A)\le 1$ .

ExempleUne loi qui n'est pas équitable

Une roue de loterie est partagée en quatre secteurs de couleurs : rouge, bleu, vert, jaune. Les probabilités sont :

Couleur	Rouge	Bleu	Vert	Jaune
Probabilité	0,4	0,3	0,2	$p$

La somme doit valoir 1, donc $0{,}4+0{,}3+0{,}2+p=1$ , soit $p=0{,}1$ .

Probabilité de l'événement $C$ : « la roue s'arrête sur rouge ou vert » : $P(C)=0{,}4+0{,}2=0{,}6$ .

Équiprobabilité : compter les cas

Démonstration · D'où vient la formule

Les $n$ issues ont la même probabilité $p$ et leur somme vaut 1 : $n\times p=1$ , donc $p=\frac1n$ . Si $A$ contient $k$ issues, $P(A)$ est la somme de $k$ termes égaux à $\frac1n$ , donc $P(A)=\frac kn$ .

Nombre de couples pour chaque somme de deux dés
Somme	Nombre de couples	Probabilité
2	1	1/36
3	2	2/36
4	3	3/36
5	4	4/36
6	5	5/36
7	6	6/36
8	5	5/36
9	4	4/36
10	3	3/36
11	2	2/36
12	1	1/36

Nombre de couples pour chaque somme de deux dés · Les 36 couples (rouge ; bleu) sont équiprobables, pas les sommes.

Par exemple, la somme 7 s'obtient avec $(1\,;6)$ , $(2\,;5)$ , $(3\,;4)$ , $(4\,;3)$ , $(5\,;2)$ et $(6\,;1)$ : 6 cas sur 36, donc $P(\text{somme}=7)=\frac6{36}=\frac16$ . La somme 2 n'a qu'un seul cas, $(1\,;1)$ : sa probabilité est $\frac1{36}$ .

Opérations sur les événements

Formules de calcul sur les probabilités

Démonstration · Preuve

Chaque issue de $\Omega$ est soit dans $A$ , soit dans $\overline{A}$ , jamais dans les deux. La somme des probabilités de toutes les issues, qui vaut 1, se sépare donc en deux parties : $P(A)+P(\overline{A})=1$ . On en déduit $P(\overline{A})=1-P(A)$ .

Démonstration · Pourquoi on retranche l'intersection

En ajoutant $P(A)$ et $P(B)$ , les issues de $A\cap B$ sont comptées deux fois : une fois dans $A$ , une fois dans $B$ . Il faut donc les retirer une fois pour qu'elles ne soient comptées qu'une seule fois dans $A\cup B$ .

Méthode de résolution et erreurs à éviter

UniversLister ou compter toutes les issues
LoiÉquiprobabilité ou loi donnée ?
ÉvénementLe traduire en ensemble d'issues
CalculDénombrer, additionner ou passer au complémentaire
ContrôleRésultat entre 0 et 1, plausible

Les étapes d'un calcul de probabilité

Exercices corrigés

Exercice 1 Pair ou multiple de 3

★☆☆Environ 5 min

On lance un dé équilibré à six faces. On note $A$ : « obtenir un nombre pair » et $D$ : « obtenir un multiple de 3 ».

Écris $A$ , $D$ , $A\cap D$ et $A\cup D$ sous forme d'ensembles.
Calcule $P(A\cup D)$ . Donne le résultat sous forme de fraction, puis en valeur décimale arrondie au dix-millième.

Indice 1

Liste les faces qui conviennent pour chaque événement avant de compter.

Indice 2

Le 6 appartient aux deux événements : ne le compte qu'une fois.

Voir la correction pas à pas

Le dé est équilibré : les 6 issues sont équiprobables et $\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$ .
On a $A=\{2\,;4\,;6\}$ et $D=\{3\,;6\}$ .
L'intersection est $A\cap D=\{6\}$ et la réunion est $A\cup D=\{2\,;3\,;4\,;6\}$ .
$A\cup D$ compte 4 issues sur 6 : $P(A\cup D)=\frac46=\frac23$ .
Contrôle avec la formule : $\frac36+\frac26-\frac16=\frac46$ . Valeur décimale : $0{,}6667$ .

La probabilité d'obtenir un nombre pair ou un multiple de 3 est $\frac23$ , soit environ $0{,}6667$ .

Exercice 2 Une loi à compléter

★★☆Environ 8 min

Un jeu de hasard a quatre issues $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . On donne $P(a)=0{,}15$ , $P(b)=0{,}35$ et $P(d)=0{,}20$ .

Calcule $P(c)$ .
Calcule la probabilité de l'événement $E=\{c\,;d\}$ .
Les quatre issues sont-elles équiprobables ?

Indice 1

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

Indice 2

La probabilité de $E$ est la somme de celles de ses issues.

Voir la correction pas à pas

Les quatre probabilités ont pour somme 1 : $0{,}15+0{,}35+P(c)+0{,}20=1$ .
On additionne les valeurs connues : $0{,}15+0{,}35+0{,}20=0{,}70$ .
Donc $P(c)=1-0{,}70=0{,}30$ .
$P(E)=P(c)+P(d)=0{,}30+0{,}20=0{,}50$ .
Les probabilités $0{,}15$ , $0{,}35$ , $0{,}30$ , $0{,}20$ ne sont pas toutes égales : il n'y a pas équiprobabilité.

On trouve $P(c)=0{,}30$ et $P(E)=0{,}50$ . Les issues ne sont pas équiprobables.

Exercice 3 Somme de deux dés

★★★Environ 10 min

On lance deux dés équilibrés à six faces, l'un rouge et l'autre bleu, et on s'intéresse à la somme des deux nombres.

Combien y a-t-il d'issues équiprobables ?
Calcule la probabilité d'obtenir une somme égale à 7.
Calcule la probabilité d'obtenir une somme différente de 7. Donne les résultats arrondis au dix-millième.

Indice 1

Une issue est un couple (nombre du dé rouge ; nombre du dé bleu).

Indice 2

Pour la question 3, utilise le complémentaire.

Voir la correction pas à pas

Chaque dé a 6 faces : il y a $6\times6=36$ couples équiprobables.
Les couples de somme 7 sont $(1\,;6)$ , $(2\,;5)$ , $(3\,;4)$ , $(4\,;3)$ , $(5\,;2)$ , $(6\,;1)$ : il y en a 6.
$P(\text{somme}=7)=\frac6{36}=\frac16\approx0{,}1667$ .
L'événement « somme différente de 7 » est le complémentaire du précédent.
$P=1-\frac16=\frac56\approx0{,}8333$ .

La probabilité d'une somme égale à 7 est $\frac16\approx0{,}1667$ ; celle d'une somme différente de 7 est $\frac56\approx0{,}8333$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si les issues sont équiprobables ?

L'énoncé doit le dire ou le suggérer : dé équilibré, pièce non truquée, tirage « au hasard » d'objets indiscernables. Sans ces indications, on utilise la loi de probabilité donnée. Si tu hésites sur un univers, reviens à des issues qu'on peut distinguer (par exemple les deux dés de couleurs différentes) pour retrouver l'équiprobabilité.

Quelle différence entre une fréquence et une probabilité ?

Une fréquence est calculée après avoir observé des résultats réels. Une probabilité est un nombre attribué à l'avance à un événement, d'après la loi de l'expérience. Elle s'apparente à une fréquence rapportée à l'ensemble des cas possibles ². Sur un petit nombre d'essais, les deux peuvent être assez éloignées ; c'est l'objet du chapitre sur la simulation et la fluctuation.

Pourquoi passer par le complémentaire ?

Parce que c'est souvent plus rapide. Pour « au moins un », « pas tous » ou « différent de », on compte plus facilement les cas opposés. Ensuite, la relation $P(\overline{A})=1-P(A)$ donne directement le résultat. Cela évite d'oublier un cas.

Quand soustraire l'intersection dans la formule de la réunion ?

Toujours dans la formule générale. Si les événements sont incompatibles, l'intersection est vide, sa probabilité vaut 0 et la soustraction ne change rien. Un doute ? Écris les ensembles d'issues, vois si une issue figure dans les deux, et compte-la une seule fois.

Une probabilité s'écrit-elle en fraction ou en décimal ?

Les deux sont valables. Donne de préférence la fraction simplifiée quand elle est simple, comme $\frac13$ , ou une valeur décimale arrondie si l'énoncé le demande. Vérifie dans tous les cas que le nombre est compris entre 0 et 1.

Sources

Programme visé : Probabilités sur un ensemble fini · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Probabilités sur un ensemble fini, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 9 novembre 2026.
Probabilités (mathématiques élémentaires), Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Ensemble fini, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Probabilité d'une issue, loi de probabilité

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