Probabilités sur un ensemble fini : exercices de 2de

L'univers est $\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$, il contient 6 issues.

Les issues qui réalisent $A$ sont $\{2\,;4\,;6\}$ : il y en a 3.

Les faces ont toutes la même chance, donc $P(A) = \dfrac{3}{6}$.

On simplifie : $P(A) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

Il y a 20 issues équiprobables et 8 d'entre elles réalisent $R$ : $P(R) = \dfrac{8}{20} = 0{,}4$.

L'événement $\overline{R}$ est « la boule tirée n'est pas rouge », c'est-à-dire verte ou jaune.

Première méthode : $7 + 5 = 12$ boules ne sont pas rouges, donc $P(\overline{R}) = \dfrac{12}{20} = 0{,}6$.

Deuxième méthode : $P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Chaque dé a 6 résultats possibles, donc l'univers contient $6 \times 6 = 36$ couples.

Les couples de somme 7 sont $(1\,;6)$, $(2\,;5)$, $(3\,;4)$, $(4\,;3)$, $(5\,;2)$ et $(6\,;1)$ : il y en a 6.

Les 36 couples sont équiprobables, donc $P(S) = \dfrac{6}{36}$.

On simplifie : $P(S) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.

$A = \{2\,;4\,;6\,;8\,;10\,;12\}$ (6 issues), $B = \{3\,;6\,;9\,;12\}$ (4 issues) et $A \cap B = \{6\,;12\}$ (2 issues).

Les 12 jetons sont équiprobables : $P(A) = \dfrac{6}{12}$, $P(B) = \dfrac{4}{12}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{2}{12}$.

On applique la formule : $P(A \cup B) = \dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.

Vérification : $A \cup B = \{2\,;3\,;4\,;6\,;8\,;9\,;10\,;12\}$ contient 8 issues, et $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.

Les quatre issues forment tout l'univers, donc $P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = 1$.

On calcule $0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}4 = 0{,}75$, donc $P(d) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$.

L'événement $E$ est composé des issues $b$ et $d$ : $P(E) = P(b) + P(d) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$.

« 2 cas sur 4 » donne aussi $0{,}5$ ici, mais seulement par coïncidence : les issues n'ont pas la même probabilité, donc ce raisonnement est faux en général. Par exemple, pour l'événement $\{a\,;b\}$, « 2 cas sur 4 » donnerait $0{,}5$, alors que la vraie probabilité est $P(a) + P(b) = 0{,}1 + 0{,}25 = 0{,}35$.

Chaque lancer a 2 résultats, donc l'univers contient $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.

Le complémentaire $\overline{B}$ est « aucun pile », c'est-à-dire « trois faces » : une seule issue, FFF.

Les 8 issues sont équiprobables, donc $P(\overline{B}) = \dfrac{1}{8}$.

On en déduit $P(B) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} = 0{,}875$.

Les 30 élèves sont équiprobables : $P(M) = \dfrac{12}{30}$, $P(S) = \dfrac{15}{30}$ et $P(M \cap S) = \dfrac{5}{30}$.

$P(M \cup S) = \dfrac{12}{30} + \dfrac{15}{30} - \dfrac{5}{30} = \dfrac{22}{30}$ : 22 élèves font au moins une des deux activités.

« Ni musique ni sport » est le complémentaire de $M \cup S$, noté $\overline{M \cup S}$.

$P(\overline{M \cup S}) = 1 - \dfrac{22}{30} = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15} \approx 0{,}267$.

Il y a 4 rois et 8 cœurs parmi 32 cartes équiprobables : $P(R) = \dfrac{4}{32}$ et $P(C) = \dfrac{8}{32}$.

$R \cap C$ est « la carte est le roi de cœur » : une seule carte, donc $P(R \cap C) = \dfrac{1}{32}$.

$P(R \cup C) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32} = 0{,}34375$.

Le complémentaire donne $1 - \dfrac{11}{32} = \dfrac{21}{32} = 0{,}65625$, ce qui correspond bien aux $32 - 11 = 21$ cartes qui ne sont ni roi ni cœur.