Tableaux croisés de deux variables qualitatives : cours de 2de

Imagine que le lycée veuille savoir comment ses élèves de seconde viennent en cours et où ils déjeunent. Si tu regardes les deux questions séparément, tu obtiens deux listes de nombres. Mais une question plus fine surgit vite : les élèves qui viennent à vélo mangent-ils plutôt à la cantine ou chez eux ? Pour répondre, il faut croiser les deux informations, c'est-à-dire regarder, pour chaque élève, ses deux réponses en même temps.

Le tableau croisé est l'outil fait pour cela. Il range les réponses de tous les individus dans une grille : chaque ligne correspond à une catégorie d'une première variable, chaque colonne à une catégorie d'une seconde. Le programme de seconde demande de savoir dresser un tableau croisé de deux variables catégorielles à partir d'un fichier d'individus ², et de le compléter par des raisonnements sur les effectifs ². Il demande aussi de savoir compter les individus qui répondent à un critère, avec les mots ET, OU, NON ². C'est exactement le plan de ce cours.

Tu n'as besoin que de ce que tu connais déjà : savoir compter, additionner, soustraire, calculer un pourcentage. Les notions de moyenne, de médiane ou d'écart type, vues avant, ne servent pas ici : elles concernent des données numériques, alors que nous travaillons sur des catégories.

Les individus sont les objets étudiés : ici des élèves, mais cela peut être des foyers, des clients, des animaux. L'ensemble des individus étudiés forme la population (ou l'échantillon, quand on n'en interroge qu'une partie).

Une variable est qualitative quand ses modalités sont des catégories. Attention : un nombre n'en fait pas forcément une variable quantitative. Un numéro de département ou un numéro de salle servent d'étiquettes : on ne calcule pas leur moyenne, ce sont des catégories. À l'inverse, « nombre de frères et sœurs » est un nombre qui compte vraiment quelque chose : c'est une variable quantitative.

Voici le tableau de notre exemple fil rouge. Les lignes portent les modalités du transport, les colonnes celles du repas. Les deux premières colonnes de nombres sont les cases centrales ; la dernière colonne et la dernière ligne sont les marges, qui contiennent des totaux.

Repère trois types de nombres.

• Case centrale : l'effectif d'une intersection. Ici, 14 élèves viennent à vélo ET sont demi-pensionnaires.
• Total de ligne : l'effectif d'une modalité du transport, tous repas confondus. Ici, 42 élèves viennent en bus (30 + 12).
• Total de colonne : l'effectif d'une modalité du repas, tous transports confondus. Ici, 68 élèves sont demi-pensionnaires (30 + 14 + 24).

Le nombre en bas à droite est l'effectif total, 120. Il s'obtient de deux façons qui doivent donner le même résultat : en additionnant les totaux de lignes (42 + 30 + 48) ou les totaux de colonnes (68 + 52). Cette égalité sert de contrôle : si les deux sommes diffèrent, une case est fausse.

Compter des individus qui répondent à un critère, c'est ce que le programme appelle filtrer, avec les connecteurs ET, OU, NON ². Dans un tableau croisé, chaque connecteur a une traduction simple. Prenons toujours les 120 élèves de l'exemple.

Dans un énoncé, on ne te donne souvent qu'une partie des nombres. Le programme attend que tu retrouves le reste par des raisonnements sur les effectifs ². L'idée est toujours la même : chaque ligne et chaque colonne obéit à une addition, ce qui te donne des équations très simples avec une seule inconnue à la fois.

Dans la pratique, les données arrivent souvent sous forme d'un fichier : une ligne par individu et une colonne par variable, comme dans un tableur. Passer de ce fichier au tableau croisé est une compétence explicitement attendue en seconde ². Les ressources d'accompagnement du programme décrivent cette première étape comme la construction du tableau croisé à deux caractères ³.

Un effectif seul dit peu de choses : 42 élèves en bus, est-ce beaucoup ? Cela dépend de la taille de la population. Pour comparer, on utilise une proportion (ou fréquence), qui rapporte l'effectif à un total. Le programme associe d'ailleurs le croisement de variables catégorielles à la notion de fréquence ².

Cette idée se relie à une situation que le programme évoque : on tire au sort un individu au hasard dans la population, chaque individu ayant la même chance d'être choisi, et on s'intéresse aux effectifs d'un tableau croisé ². La proportion calculée ci-dessus est alors une façon de mesurer à quel point il est « fréquent » d'obtenir un individu de ce type. Tu approfondiras cela dans les chapitres sur les probabilités.