Ensembles, appartenance et inclusion : cours de Seconde

Depuis le collège, tu manipules des collections de nombres sans leur donner de nom : les multiples de 3, les solutions d'une équation, les points d'une droite. En Seconde, le programme te demande de mettre un vocabulaire précis sur ces collections. Il s'agit de savoir parler d'élément, de sous-ensemble, d'appartenance, d'inclusion, de réunion, d'intersection et de complémentaire, et de s'en servir pour écrire correctement des énoncés ¹².

Ce vocabulaire n'est pas un décor. Il sert à écrire sans ambiguïté, à lire un énoncé de façon rigoureuse et, plus tard, à raisonner : les chapitres sur l'implication, les quantificateurs et les raisonnements par contre-exemple ou par l'absurde s'appuient directement sur lui. Si tu confonds « appartient » et « est inclus », tu écriras des phrases fausses sans t'en rendre compte, et le correcteur le verra tout de suite.

Dans ce cours, nous avançons en plusieurs temps : d'abord ce qu'est un ensemble et ce que signifie appartenir à un ensemble ; ensuite l'inclusion ; puis la différence entre les deux notions ; ensuite les opérations sur les ensembles ; enfin les méthodes pour démontrer ou réfuter une inclusion.

Un ensemble peut aussi être décrit par une propriété plutôt que par une liste. Par exemple, « l'ensemble des réels $x$ tels que $x \geq 0$ » est noté $\mathbb{R}_+$. Pour décider si un nombre appartient à cet ensemble, on vérifie la propriété. Ainsi $\sqrt{2}$ appartient à $\mathbb{R}_+$ parce que $\sqrt{2} \geq 0$, et $-3$ n'y appartient pas.

Les ensembles de nombres que tu connais sont des ensembles comme les autres : $\mathbb{N}$ (entiers naturels), $\mathbb{Z}$ (entiers relatifs), $\mathbb{D}$ (décimaux), $\mathbb{Q}$ (rationnels) et $\mathbb{R}$ (réels). Écrire $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ est vrai, alors que $\frac{1}{3} \in \mathbb{D}$ est faux, puisque son écriture décimale ne s'arrête pas.

Une façon de se représenter la situation : imagine deux cercles dessinés sur une feuille. Si le cercle de $E$ est entièrement à l'intérieur du cercle de $F$, alors $E \subset F$. Si une partie du cercle de $E$ dépasse, il existe au moins un élément de $E$ qui n'est pas dans $F$, et l'inclusion est fausse.

Selon les manuels, le symbole $\subset$ désigne l'une ou l'autre version. Pour éviter toute confusion, on peut écrire $A \subsetneq B$ quand on veut dire que l'inclusion est stricte, et $A \subseteq B$ quand on veut insister sur la possibilité d'égalité. Dans ce cours, $A \subset B$ signifie l'inclusion au sens large : $A = B$ est donc permis.

Ce résultat est précieux : il donne la méthode standard pour prouver qu'on a deux écritures différentes d'un même ensemble. On montre une inclusion dans un sens, puis dans l'autre. Il explique aussi pourquoi l'inclusion n'est pas symétrique en général : il peut exister des éléments du second ensemble qui n'appartiennent pas au premier ⁵. Elle ne devient symétrique que dans le cas de l'égalité.

Les deux notions sont distinctes dans les mathématiques ordinaires ⁵. Leur différence tient à la nature de ce qui se trouve de chaque côté du symbole.

Cette distinction se retrouve en géométrie. Un point $M$ appartient à une droite $(d)$, on écrit $M \in (d)$. Une droite est un ensemble de points, donc deux droites peuvent être comparées par inclusion, mais jamais par appartenance. Écrire $(d) \in (d')$ n'a pas de sens.

Le programme de Seconde attend que tu connaisses, à côté de l'inclusion, trois opérations : la réunion, l'intersection et le complémentaire ¹². Elles permettent de fabriquer de nouveaux ensembles à partir de deux ensembles donnés.

Les inclusions se traduisent en phrases « si… alors… ». Écrire $A \subset B$ revient à dire : « si $x \in A$, alors $x \in B$ ». Les implications rencontrées en Seconde sont souvent de ce type, dites implications ensemblistes ⁴. On peut ainsi traduire un énoncé du type « tout carré est un rectangle » par l'inclusion de l'ensemble des carrés dans l'ensemble des rectangles.

Un énoncé comme « $x$ appartient à l'ensemble des réels positifs » devient vrai ou faux selon la valeur de $x$ : pour décider, on regarde dans quel ensemble se situe $x$ ⁴. Cette idée prépare les chapitres suivants sur l'implication, l'équivalence et les quantificateurs.