Ensembles, appartenance et inclusion : exercices de 2de

1. Le nombre $4$ figure dans la liste de $A$ : l'affirmation est vraie.

2. Le nombre $5$ ne figure pas dans la liste : $5\notin A$. L'affirmation est fausse, on corrige en $5\notin A$.

3. $\{6\}$ est un ensemble, alors que les éléments de $A$ sont des nombres. Ce n'est donc pas un élément de $A$ : faux. On corrige en $6\in A$ ou en $\{6\}\subset A$.

4. Le nombre $10$ figure dans la liste de $A$, donc $10\in A$. L'affirmation est fausse.

5. Les deux éléments $2$ et $8$ sont dans $A$, donc l'ensemble $\{2\,;\,8\}$ est inclus dans $A$ : vrai.

1. $3$ est un nombre et $E$ un ensemble qui le contient : $3\in E$.

2. Chaque élément de $E$ (1, 2 et 3) se retrouve dans $F$ : $E\subset F$.³

3. Dans $F$, il y a $4$, qui n'est pas dans $E$ : $F\not\subset E$. L'inclusion ne fonctionne pas à l'envers.⁵

4. $1$ et $5$ sont tous deux dans $F$ : $\{1\,;\,5\}\subset F$.

5. $5\notin E$, donc $\{1\,;\,5\}\not\subset E$.

6. Chaque élément de $E$ est dans $E$ : $E\subset E$. L'inclusion au sens large autorise l'égalité des deux ensembles.⁵

Taille 0 : l'ensemble vide, noté $\varnothing$ (1 partie).

Taille 1 : $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$ (3 parties).

Taille 2 : $\{a\,;\,b\}$, $\{a\,;\,c\}$, $\{b\,;\,c\}$ (3 parties).

Taille 3 : $\{a\,;\,b\,;\,c\}=E$ (1 partie).

Total : $1+3+3+1=8$ parties.

Vérification : chaque élément est gardé ou écarté, ce qui donne $2\times2\times2=2^3=8$ choix, donc 8 parties. Les deux méthodes concordent.

1. Un entier non nul est en particulier un entier naturel : chaque élément de $\mathbb{N}^*$ est dans $\mathbb{N}$. Donc $\mathbb{N}^*\subset\mathbb{N}$.³

2. Tous les multiples de 5 de $M$ sont des entiers naturels : $M\subset\mathbb{N}$.

3. Le nombre $0$ est multiple de $5$ ($0=5\times0$), donc $0\in M$. Mais $0\notin\mathbb{N}^*$. Ce contre-exemple prouve que $M\not\subset\mathbb{N}^*$.

4. Le nombre $1$ est dans $\mathbb{N}$ mais n'est pas multiple de $5$ : $1\notin M$. Donc $\mathbb{N}\not\subset M$.

1. $4\in I$ (borne incluse) ; $4\in J$ car $0<4<5$ ; $4\notin K$ (borne exclue) ; $5\notin J$ (borne exclue).

2. Si $x\in I$, alors $1\leqslant x\leqslant4$, donc $0<x<5$ : $x\in J$. On a donc $I\subset J$. En revanche $4{,}5\in J$ mais $4{,}5\notin I$ : $J\not\subset I$.

3. Tout élément de $K$ vérifie $1\leqslant x<4$, donc appartient à $I$ : $K\subset I$. Et $4\in I$ mais $4\notin K$ : $I\not\subset K$. L'inclusion est stricte.⁵

4. $x\in I$ équivaut à $1\leqslant x\leqslant4$.

1. Les éléments présents à la fois dans $A$ et $B$ sont $4$, $5$ et $6$ : $A\cap B=\{4\,;\,5\,;\,6\}$.

2. On rassemble les éléments de $A$ ou de $B$ : $A\cup B=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}$.⁵

3. La liste comprend 8 éléments.

4. $6+5=11$ compte $4$, $5$ et $6$ deux fois chacun, soit $3$ de trop : $11-3=8$.

5. Chaque élément de $A\cap B$ (4, 5, 6) est dans $A$, puis dans $B$ : on a bien $A\cap B\subset A$ et $A\cap B\subset B$. On retrouve l'idée que l'intersection de deux ensembles est incluse dans chacun d'eux.⁴

1. $(-2)^2=4$ et $2^2=4$ : les deux éléments de $A$ vérifient $x^2=4$, donc sont dans $B$. Ainsi $A\subset B$.

2. Soit $x\in B$. Alors $x^2-4=0$, soit $(x-2)(x+2)=0$. Un produit est nul quand l'un des facteurs l'est : $x=2$ ou $x=-2$. Donc $x\in A$, et $B\subset A$.

3. On a les deux inclusions $A\subset B$ et $B\subset A$ : les deux ensembles sont égaux, $A=B$.⁵

4. Si $x^2=4$ alors on a bien $x^2\leqslant4$ : tout élément de $B$ est dans $C$, donc $B\subset C$. En revanche $0^2=0\leqslant4$ donc $0\in C$, mais $0^2\neq4$ donc $0\notin B$. Ainsi $C\not\subset B$.

1. $S$ contient $40\,\%$ de $400$ élèves : $0{,}40\times400=160$ élèves.

2. $C$ correspond à $25\,\%$ de $S$ : $0{,}25\times160=40$ élèves.

3. La proportion de $C$ dans l'ensemble des $400$ élèves est $\dfrac{40}{400}=0{,}10=10\,\%$. On retrouve le produit $0{,}40\times0{,}25=0{,}10$ : c'est la règle de la proportion de proportion, qui s'applique quand les ensembles sont emboîtés.¹

4. Chaque élève de $C$ est un sportif, donc $C\subset S$. C'est cette inclusion qui permet d'enchaîner les deux pourcentages.

1. $f(2)=2^2-1=3$, qui est l'ordonnée de $A$ : $A\in\mathcal{C}_f$.

2. $f(-1)=(-1)^2-1=0$, alors que l'ordonnée de $B$ est $1$ : $B\notin\mathcal{C}_f$.

3. $f(0)=0-1=-1$, ordonnée de $C$ : $C\in\mathcal{C}_f$.

4. Pour que $D(3\,;\,a)$ soit sur la courbe, il faut $a=f(3)=3^2-1=8$.

5. On cherche $f(x)=0$, soit $x^2=1$, donc $x=1$ ou $x=-1$. Les points $(1\,;\,0)$ et $(-1\,;\,0)$ sont à la fois sur la courbe et sur l'axe : ils appartiennent à l'intersection des deux ensembles.