Ensembles, appartenance et inclusion : quiz de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un élément appartient à un ensemble (∈) ; un ensemble est inclus dans un autre (⊂). Ne mélange jamais les deux relations.6
A ⊂ B signifie que chaque élément de A est aussi un élément de B.3
Si A ⊂ B et B ⊂ A, alors A = B ; l'inclusion stricte exige en plus A ≠ B.5
La réunion A ∪ B rassemble les éléments qui sont dans A ou dans B.5
L'appartenance n'est pas symétrique : « x ∈ E » ne se lit pas à l'envers.6
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le vocabulaire des ensembles que tu rencontres en seconde : élément, sous-ensemble, appartenance, inclusion, réunion.1 Au programme, on attend que tu saches les reconnaître et les utiliser correctement dans des phrases mathématiques.2
Le piège numéro un tient en une idée simple : le symbole ∈ relie un élément à un ensemble, alors que le symbole ⊂ relie deux ensembles.5 Presque toutes les erreurs viennent d'un mélange entre les deux. Garde cette distinction en tête pendant tout le quiz.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le nombre 3 est l'un des objets listés dans A : c'est un élément, donc 3∈A.6 L'écriture 3⊂A est tentante mais fausse, car ⊂ relie deux ensembles et 3 est un nombre.3 De même, {3} est un ensemble, pas un des éléments listés dans A : {3}∈A est faux. Enfin A∈3 renverse les rôles, et l'appartenance ne se lit pas dans les deux sens.6
L'ensemble {3} n'a qu'un seul élément, 3, et cet élément est dans A : l'inclusion est donc vraie.3 On pourrait croire qu'elle est fausse parce que {3} a des accolades alors que A contient « juste 3 ». Mais la définition de l'inclusion ne regarde que les éléments du premier ensemble, et ici il n'y en a qu'un.5
Les entiers naturels non nuls sont tous des entiers naturels, donc N∗⊂N.5 L'inclusion inverse est fausse : 0 est dans N mais pas dans N∗, ce qui interdit aussi 0∈N∗.5 Quant à N∗∈N, il confond ensemble et élément : N∗ n'est pas un nombre.6
Pour réfuter une inclusion, il suffit de trouver un élément du premier ensemble qui n'est pas dans le second. Ici, 0 est pair, donc 0∈2N, mais 0∈/N∗.5 La deuxième réponse est fausse, car 2N ne contient aucun impair. La troisième ne justifie rien : la taille ne décide pas d'une inclusion, seuls les éléments comptent.
Une inclusion dans les deux sens signifie que les deux ensembles ont exactement les mêmes éléments : ils sont égaux.5 La deuxième réponse est incompatible avec la situation, car une inclusion stricte exige que les ensembles soient différents.5 La troisième ne peut pas être conclue : dès que A n'est pas vide, ses éléments sont dans B et donc communs aux deux.
Les éléments 1 et 2 de A sont bien dans B, donc A⊂B ; et comme 3 est dans B sans être dans A, les ensembles sont différents : l'inclusion est stricte.5 La réponse « B⊂A » échoue à cause de 3. « A∈B » serait vrai seulement si {1;2} était lui-même un des éléments de B, ce qui n'est pas le cas.6
4 est listé dans A, donc 4∈A. Les deux éléments de {2;6} sont dans A, donc l'inclusion est vraie.3 Le nombre 5 n'apparaît pas dans A, d'où 5∈/A.6 La dernière est fausse : {4} est un ensemble, alors que les éléments de A sont des nombres. Il faudrait écrire {4}⊂A.
La réunion rassemble les éléments qui sont dans l'un ou dans l'autre ensemble.5 On obtient {1;2;3;4;5}, soit 5 éléments. L'erreur tentante est de répondre 7 en additionnant 4+3 : or 3 et 4 sont présents dans les deux ensembles et ne se comptent qu'une seule fois dans la réunion.
C'est faux : l'appartenance n'est ni symétrique, ni transitive, ni réflexive.6 Avec 3∈{1;3;5}, l'écriture {1;3;5}∈3 n'a aucun sens au programme de seconde. Ne confonds pas avec l'égalité, qui, elle, se lit dans les deux sens.
L'appartenance est une relation entre un élément et un ensemble.6 Relier deux ensembles est le rôle de l'inclusion, ce qui rend la deuxième réponse tentante mais fausse.5 Comparer deux nombres relève d'autres symboles, comme < ou =.
On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A se retrouve dans B.3 La deuxième réponse inverse le sens : c'est la définition de B⊂A. La troisième confond inclusion et appartenance.6 La quatrième est trop faible : avoir un élément en commun ne suffit pas, il faut que tous ceux de A soient dans B.
Tout élément de A est évidemment un élément de A : l'inclusion au sens large est donc vérifiée.5 Elle n'est pas stricte, puisque A=A. Cela explique qu'on distingue l'inclusion au sens large de l'inclusion au sens strict, qui demande en plus que les deux ensembles soient différents.5
Un réel strictement supérieur à 2 est a fortiori strictement supérieur à 0 : tout élément de E est dans F, donc E⊂F.3 L'inclusion inverse est fausse : 1 est dans F mais pas dans E. Les deux ensembles sont donc différents, et E∈F confond de nouveau inclusion et appartenance.
La réunion contient chaque nombre qui est dans A ou dans B.5 On obtient {2;3;4;6;8;9;10}, soit 7 éléments. Additionner 5+3=8 est l'erreur tentante : le nombre 6 est dans les deux ensembles et n'est compté qu'une fois dans la réunion.
Par définition de l'inclusion, chaque élément de A est un élément de B : donc a∈B.3 La réponse « a⊂B » mélange élément et ensemble.6 « B⊂A » est invérifiable : B peut contenir davantage d'éléments que A. Quant à a∈/B, elle contredit ce qu'on vient de démontrer.
Les questions qu'on se pose
Comment ne plus confondre $\in$ et $\subset$ ?
Regarde la nature de ce qui est à gauche du symbole. Si c'est un élément (un nombre, un point), utilise ∈.6 Si c'est un ensemble (souvent écrit avec des accolades), utilise ⊂.3 Un test rapide : remplace le symbole par une phrase. « 3 est un élément de A » va avec ∈ ; « tous les éléments de A sont dans B » va avec ⊂.
$A \subset B$ autorise-t-il $A = B$ ?
Oui, dans le sens large de l'inclusion, qui est celui du programme : A est inclus dans B dès que tout élément de A est dans B, même si les deux ensembles sont égaux.5 Pour exclure l'égalité, on parle d'inclusion stricte, qui demande aussi A=B.5 Dans un quiz, regarde donc si l'énoncé précise « strictement ».
Comment prouver qu'une inclusion est fausse ?
Il suffit d'un seul contre-exemple : un élément du premier ensemble qui n'est pas dans le second.3 Par exemple, 0 est dans l'ensemble des entiers pairs mais pas dans N∗, ce qui montre que le premier n'est pas inclus dans le second.5 Cette idée de contre-exemple reviendra dans la suite du chapitre sur le raisonnement.