Fonctions exponentielles de base q : cours de Terminale techno

Tu connais déjà les suites géométriques : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Par exemple, un capital placé à 3 % par an est multiplié par $1{,}03$ chaque année. Son rang $n$ est un entier : 0, 1, 2, 3…

Mais beaucoup de phénomènes ne se mesurent pas seulement « année après année ». Une population de bactéries, une substance qui se désintègre ou une température évoluent à chaque instant. Il faut donc une fonction qui garde l'esprit de la multiplication répétée, mais qui accepte aussi des valeurs comme $x=2{,}5$ ou $x=-1$. Le programme de terminale présente justement les fonctions exponentielles de base $a$ à partir des suites géométriques, pour modéliser des phénomènes continus.²

Dans ce cours, on note la base $q$, comme pour les suites géométriques.

Cette fonction est tout à fait différente d'une fonction puissance comme $x\mapsto x^3$. Dans $x^3$, la variable est la base et l'exposant est fixe. Dans $q^x$, c'est l'inverse : la base est fixe et la variable est l'exposant.

Le programme demande de connaître les propriétés algébriques des fonctions exponentielles et de s'en servir pour transformer des écritures numériques.² Voici celles dont tu auras besoin. Elles prolongent les règles que tu connais pour les exposants entiers.

Pour comprendre, repense aux suites géométriques. Si tu multiplies sans cesse par un nombre plus grand que 1 (par exemple 2), les termes grossissent. Si tu multiplies par un nombre compris entre 0 et 1 (par exemple 0,5), les termes diminuent. La fonction fait la même chose sur tous les réels.

Et si $q=1$ ? Alors $1^x=1$ pour tout $x$ : la fonction est constante. Ce cas n'a aucun intérêt dans les problèmes de modélisation.

Observe bien le graphique. Les deux courbes passent par le point $(0\,;\,1)$, puisque $q^0=1$ quelle que soit la base. La courbe de $2^x$ monte de plus en plus vite. Celle de $0{,}5^x$ descend, en se rapprochant de l'axe des abscisses sans jamais le toucher. Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : cela vient de $0{,}5^x=\dfrac{1}{2^x}=2^{-x}$.

Les suites géométriques et les fonctions exponentielles sont deux visages de la même idée : une multiplication répétée. Si $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q>0$, alors $u_n=u_0\times q^n$. La fonction $f(x)=u_0\times q^x$ prend les mêmes valeurs aux entiers, et elle est définie entre ces entiers.²

Une fonction exponentielle modélise les phénomènes dans lesquels, quand la variable augmente d'une même quantité, les images sont multipliées par le même facteur.⁴ C'est le cas d'une population qui double à intervalles réguliers, ou d'une somme placée à taux fixe.

Elle intervient aussi en physique : la désintégration radioactive utilisée en imagerie médicale sert de support pour introduire ces fonctions.¹ Une substance radioactive voit son activité diminuer selon une loi de ce type, avec une base comprise entre 0 et 1.