Fonctions exponentielles de base q : exercices corrigés de Terminale

Les deux facteurs ont la même base 3, donc on peut additionner les exposants : $A=3^{4+(-1)}$.

On calcule l'exposant : $4-1=3$, donc $A=3^3$.

On calcule : $3^3=3\times3\times3=27$.

La base est $q=0{,}5$, et $0<0{,}5<1$.

Une fonction exponentielle dont la base est comprise entre 0 et 1 est décroissante : $f$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$ ¹.

On calcule $f(3)=0{,}5^3=0{,}25\times0{,}5=0{,}125$.

Contrôle : $f(0)=1$ et $f(3)=0{,}125<1$, ce qui est cohérent avec une fonction décroissante.

Une hausse de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur $q=1+\frac{5}{100}=1{,}05$.

Comme $q>1$, la fonction $t\mapsto 1{,}05^t$ est croissante : la population augmente.

Pour $t=10$ : $P(10)=2000\times1{,}05^{10}$.

À la calculatrice, $1{,}05^{10}\approx1{,}6289$, donc $P(10)\approx3\,257{,}79$.

On arrondit à l'unité : environ 3 258 habitants.

On divise les deux membres par 3 : $2^x=\dfrac{96}{3}=32$.

On décompose 32 en puissance de 2 : $2\times2\times2\times2\times2=32$, donc $32=2^5$.

L'équation devient $2^x=2^5$.

La fonction $x\mapsto2^x$ est croissante (base $2>1$) : deux exposants qui donnent la même image sont égaux, donc $x=5$.

Vérification : $3\times2^5=3\times32=96$.

Une baisse de 12 % correspond à $q=1-\frac{12}{100}=0{,}88$.

On a $0<0{,}88<1$, donc la fonction $t\mapsto0{,}88^t$ est décroissante : $V$ est décroissante.

On calcule $V(5)=500\times0{,}88^5$.

À la calculatrice, $0{,}88^5\approx0{,}52773$, donc $V(5)\approx263{,}87$.

Contrôle : en 5 ans, la valeur est un peu plus que divisée par deux, ce qui est cohérent avec $q=0{,}88$.

Le coefficient est $0{,}9$ avec $0<0{,}9<1$ : la masse décroît, donc il existe un premier rang à partir duquel elle reste sous 50 g.

On calcule : $m(5)=100\times0{,}9^5\approx59{,}05$.

Puis $m(6)=100\times0{,}9^6\approx53{,}14$, qui est encore supérieur à 50.

Enfin $m(7)=100\times0{,}9^7\approx47{,}83$, qui est inférieur à 50.

Comme $m$ est décroissante, la masse reste sous 50 g pour tout $n\geq7$.

Les bases $1{,}04$ et $1{,}03$ sont supérieures à 1 : les fonctions exponentielles correspondantes sont croissantes, donc $A$ et $B$ aussi.

Comme $q^0=1$, on a $A(0)=B(0)=1000$ : les deux courbes passent par le même point d'ordonnée 1 000 sur l'axe des ordonnées.

On calcule $A(10)=1000\times1{,}04^{10}\approx1480{,}24$.

On calcule $B(10)=1000\times1{,}03^{10}\approx1343{,}92$.

Avec les valeurs non arrondies de la calculatrice, l'écart vaut $1000\times1{,}04^{10}-1000\times1{,}03^{10}\approx136{,}33$ €.

Quatre évolutions identiques multiplient le prix par $q^4$, donc $q^4=1{,}5$.

Comme $q>0$, on obtient $q=1{,}5^{\frac14}$.

À la calculatrice, $q\approx1{,}10668$.

Le taux annuel moyen est $q-1\approx0{,}10668$, soit environ $10{,}67\ \%$.

Vérification : $1{,}1067^4\approx1{,}5$.