Intégrale et aire : cours de Terminale (maths complémentaires)

Pour un rectangle, un triangle ou un trapèze, tu connais la formule de l'aire. Mais que faire quand une des frontières du domaine est une courbe, comme la parabole d'équation $y=x^2$ ? Aucune formule de géométrie du collège ne s'applique. C'est exactement le problème que résout le calcul intégral.

Les programmes de mathématiques complémentaires proposent d'ailleurs d'aborder l'intégrale par des calculs d'aires menés selon différentes méthodes, ce qui conduit à la notion d'intégrale d'une fonction continue et positive. ¹ Dans ce cours, tu vas suivre ce chemin : d'abord l'idée géométrique, puis l'approximation par des rectangles, puis le calcul exact grâce aux primitives que tu as étudiées juste avant.

L'intégrale est un outil très général. Elle sert à mesurer des grandeurs en physique (longueur d'une courbe, aire, volume, flux) comme en probabilités, et c'est pour cette raison qu'elle est souvent abordée dès le lycée. ³ Ici, on se concentre sur le lien le plus concret : intégrale et aire.

Le chapitre suivant, sur la valeur moyenne, réutilise directement ce que tu vas voir ici : la valeur moyenne d'une fonction se définit à partir d'une intégrale. ¹

Commençons par poser la situation. On se place dans un repère du plan. On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$. Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ reste donc au-dessus de l'axe des abscisses (ou le touche).

Lis bien cette définition : elle ne dit pas comment calculer l'intégrale, seulement ce qu'elle représente. Pour l'instant, $\int_a^b f(x)\,dx$ est un nombre : l'aire. Les bornes $a$ et $b$ sont les abscisses où le domaine commence et où il s'arrête.

Une aire s'exprime toujours dans une unité. Quand tu écris $\int_a^b f(x)\,dx = 6$, tu dois te demander : 6 quoi ? Cela dépend du repère.

Comment calculer une aire quand un côté est courbe ? On utilise une idée simple : remplacer la courbe par des morceaux dont on sait calculer l'aire. Pour construire une intégrale, on part de fonctions élémentaires dont l'aire sous la courbe se mesure facilement, comme les fonctions en escalier : le domaine sous la courbe est alors une réunion de rectangles. ³

On découpe $[a\,;b]$ en $n$ intervalles de même largeur $h=\frac{b-a}{n}$. Sur chaque intervalle, on place un rectangle de largeur $h$. Si la hauteur du rectangle est choisie sous la courbe, la somme des aires est inférieure à l'aire cherchée : l'aire sous une telle fonction en escalier est inférieure à l'intégrale de $f$, et on l'appelle somme inférieure. ³

Cette idée est au cœur de la théorie de Riemann : pour définir l'aire, on approche $f$ par une suite de fonctions simples dont on connaît l'intégrale, de sorte que l'écart avec $f$ tende vers $0$ quand $n$ devient très grand. ³ Pas besoin de détailler cette théorie en Terminale : retiens l'esprit, plus on découpe fin, plus on s'approche de l'aire exacte.

On peut évaluer l'aire sous la courbe par des méthodes numériques, en la remplaçant par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes notamment. ⁴ Les programmes citent explicitement la méthode des rectangles et celle des trapèzes pour calculer une aire sous une courbe. ²

Les rectangles donnent des valeurs approchées. Pour obtenir la valeur exacte, on utilise le lien entre l'aire et les primitives. Un résultat central de l'analyse, le théorème fondamental, établit que l'aire sous une courbe et la recherche d'une primitive mènent, sous des hypothèses convenables, au même nombre. ³ Quand le découpage et le recollement de figures ne suffisent plus, c'est l'intégrale qui prend le relais, et on la détermine souvent à l'aide d'une primitive de la fonction. ⁴

Voici un énoncé typique et sa rédaction, comme tu dois la présenter dans une copie.

Le calcul intégral prolonge la géométrie, il ne la remplace pas. L'analyse intervient quand les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus à déterminer une aire. ⁴ Quand le domaine est un polygone simple, la géométrie reste plus rapide, et elle te sert de vérification.