Intégrale et aire : exercices corrigés de Terminale

Sur $[0\,;\,3]$, $2x+1\geq 1>0$ et $f$ est continue (fonction affine) : $f$ est positive et continue, donc l'aire demandée est bien l'intégrale de $f$ de $0$ à $3$ ³.

Une primitive de $f$ est $F(x)=x^2+x$.

On calcule $F(3)=9+3=12$ et $F(0)=0$.

Donc $\mathcal{A}=F(3)-F(0)=12-0=12$ u.a.

Vérification : le domaine est un trapèze rectangle dont les côtés parallèles mesurent $f(0)=1$ et $f(3)=7$, de hauteur $3$. Son aire vaut $\dfrac{(1+7)\times 3}{2}=12$ u.a. Les deux méthodes concordent.

La fonction $x\mapsto x^2$ est continue et positive sur $[1\,;\,3]$ : l'aire est donc $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$ ³.

Une primitive est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.

On calcule $F(3)=\dfrac{27}{3}=9$ et $F(1)=\dfrac{1}{3}$.

$\mathcal{A}=9-\dfrac13=\dfrac{26}{3}$ u.a.

Valeur approchée : $\dfrac{26}{3}\approx 8{,}67$ u.a.

La fonction exponentielle est continue et positive sur $\mathbb{R}$ : l'aire de $\mathcal{D}$ est $\displaystyle\int_0^{\ln 3} e^x\,dx$, car l'axe des ordonnées a pour équation $x=0$ ³.

Une primitive de $f$ est $F(x)=e^x$.

$F(\ln 3)=e^{\ln 3}=3$ et $F(0)=e^0=1$.

$\mathcal{A}=3-1=2$ u.a.

Le calcul en u.a. ne dépend pas des longueurs réelles : $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=9-0=9$ u.a.

L'unité d'aire est l'aire de la maille élémentaire du repère ⁴ : un rectangle de $2$ cm sur $3$ cm, soit $2\times 3=6$ cm².

L'intégrale compte le nombre de mailles élémentaires contenues dans la surface ⁴. L'aire vaut donc $9\times 6=54$ cm².

Les rectangles sous la courbe ont pour hauteurs $f(0)=0$, $f(\frac14)=\frac1{16}$, $f(\frac12)=\frac4{16}$ et $f(\frac34)=\frac9{16}$, et pour largeur $\frac14$.

$s=\dfrac14\times\dfrac{0+1+4+9}{16}=\dfrac{14}{64}=0{,}21875$ u.a. Cette somme est une aire plus petite que l'aire cherchée : c'est une somme inférieure ³.

Les rectangles au-dessus ont pour hauteurs les valeurs à l'extrémité droite : $\frac1{16}$, $\frac4{16}$, $\frac9{16}$ et $1=\frac{16}{16}$.

$S=\dfrac14\times\dfrac{1+4+9+16}{16}=\dfrac{30}{64}=0{,}46875$ u.a.

Encadrement : $0{,}21875\leq\mathcal{A}\leq 0{,}46875$.

Calcul exact : $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac13\approx 0{,}333$, bien compris dans l'encadrement.

$f(x)=g(x)\iff x^2-x-2=0$. Le discriminant vaut $1+8=9$, donc $x=\dfrac{1-3}{2}=-1$ ou $x=\dfrac{1+3}{2}=2$.

Test en $x=0$ : $f(0)=2$ et $g(0)=0$. Sur $[-1\,;\,2]$, la droite est donc au-dessus de la parabole.

L'aire vaut $\displaystyle\int_{-1}^{2}\big(x+2-x^2\big)\,dx$ : on intègre « courbe du haut moins courbe du bas » ¹.

Une primitive de $x+2-x^2$ est $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}$.

$F(2)=2+4-\dfrac83=\dfrac{10}{3}$ et $F(-1)=\dfrac12-2+\dfrac13=-\dfrac76$.

$\mathcal{A}=\dfrac{10}{3}+\dfrac76=\dfrac{20}{6}+\dfrac76=\dfrac{27}{6}=\dfrac92=4{,}5$ u.a.

La fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;\,a]$ : $\mathcal{A}(a)=\displaystyle\int_0^a 2x\,dx$ ³.

$\mathcal{A}(a)=\big[x^2\big]_0^a=a^2-0=a^2$ u.a.

On résout $a^2=25$. Comme $a>0$, on garde $a=5$ et on écarte $-5$.

Contrôle géométrique : le domaine est un triangle rectangle de base $a$ et de hauteur $f(a)=2a$, d'aire $\dfrac{a\times 2a}{2}=a^2$. Le résultat est confirmé.