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Les primitives : cours de Terminale (maths complémentaires)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$ : c'est l'opération inverse de la dérivation.
Une fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; elles ne se distinguent que par une constante additive, donc il y en a une infinité : $F(x)+C$ .
Pour trouver une primitive : reconnaître une dérivée connue (tableau des primitives usuelles, formes $u'u^n$ , $u'e^u$ , $\frac{u'}{u}$ ), puis vérifier en dérivant.
Une condition du type $F(x_0)=y_0$ fixe la constante $C$ et donne une seule primitive.
Si $F$ est une primitive de $f$ continue, alors $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ : la constante $C$ disparaît dans la différence.

Pourquoi chercher une primitive ?

Tu sais depuis la Première passer d'une fonction à sa dérivée. Ce chapitre fait le chemin inverse : on te donne une fonction $f$ et tu dois retrouver une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ . Une telle fonction s'appelle une primitive de $f$ . Autrement dit, une primitive est un antécédent pour l'opération de dérivation ⁴.

Cette recherche n'est pas gratuite. Elle sert d'abord à calculer des intégrales de fonctions continues sur un segment, grâce au théorème fondamental de l'analyse ⁴. Les programmes de Terminale présentent d'ailleurs la notion de primitive comme un outil qui rend le calcul intégral exact, par opposition à la méthode des rectangles qui ne donne qu'une valeur approchée ². Tu verras ce lien en détail dans le chapitre « Intégrale et aire » ; ici, on met en place l'outil.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

reconnaître et vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre ;
comprendre pourquoi une fonction a une infinité de primitives, toutes liées entre elles ;
utiliser les primitives des fonctions usuelles et les formes composées ;
déterminer la primitive qui vérifie une condition donnée ;
calculer une intégrale à l'aide d'une primitive.

Définition d'une primitive

Existence et infinité des primitives

Démonstration · Pourquoi toutes les primitives sont de la forme $F+C$

Soit $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur l'intervalle $I$ . La fonction $H=G-F$ est dérivable sur $I$ et $H'=G'-F'=f-f=0$ .

Or une fonction dérivable dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle (sa courbe n'a aucune pente). Il existe donc un réel $C$ tel que $G-F=C$ , c'est-à-dire $G=F+C$ .

Réciproquement, pour tout réel $C$ , la fonction $F+C$ a pour dérivée $F'+0=f$ : c'est bien une primitive.

Deux primitives d'une même fonction · Les courbes de F(x)=x² et de G(x)=x²+2 se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.

Primitives des fonctions usuelles

Le calcul d'une primitive est délicat, contrairement à la dérivation : c'est pourquoi on s'appuie sur des tables de primitives connues ⁵. Le programme demande de calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les opérations sur les fonctions ². Chaque ligne du tableau ci-dessous se vérifie en dérivant le résultat : fais-le au moins une fois pour chaque ligne, c'est le meilleur moyen de les retenir.

Primitives des fonctions usuelles
Fonction f(x)	Une primitive F(x)	Intervalle
k (constante)	kx	ℝ
x^n (n entier ≥ 0)	x^(n+1) / (n+1)	ℝ
1/x	ln(x)	]0 ; +∞[
1/x²	−1/x	]0 ; +∞[
1/√x	2√x	]0 ; +∞[
e^x	e^x	ℝ

Primitives des fonctions usuelles · Chaque primitive se vérifie en dérivant ; on ajoute + C pour obtenir toutes les primitives.

Linéarité et formes composées

Pour déterminer les primitives d'une fonction, on cherche souvent à reconnaître la dérivée d'une fonction composée ³. En lisant à l'envers les formules de dérivation, on obtient les formes suivantes, où $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

PropriétéLes trois formes à reconnaître

Sur un intervalle $I$ où tout est bien défini :

Forme de $f$	Une primitive de $f$	Condition
$u'u^n$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$n\neq -1$ (et $u\neq 0$ si $n<0$ )
$u'e^{u}$	$e^{u}$	aucune
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln(u)$	$u>0$ sur $I$

Chaque ligne se vérifie en dérivant : par exemple $\big(e^{u}\big)'=u'e^{u}$ et $\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}$ .

Repérer uCherche la fonction intérieure.
Calculer u'Dérive u.
Compareru' est-il dans f, à un facteur près ?
Conclure et vérifierÉcris F puis dérive-la.

Reconnaître une forme u'·(quelque chose) · La méthode s'applique aux formes u'uⁿ, u'e^u et u'/u.

Déterminer la primitive qui vérifie une condition

Puisque la constante $C$ ne se fixe que si l'on connaît la valeur de la primitive en un point ⁵, une condition de la forme $F(x_0)=y_0$ sélectionne une seule primitive parmi toutes. Graphiquement, parmi toutes les courbes translatées les unes des autres, on garde celle qui passe par le point de coordonnées $(x_0\,;y_0)$ .

Primitives et calcul d'intégrales

On note souvent $\big[F(x)\big]_a^b$ la différence $F(b)-F(a)$ . Comme toutes les primitives de $f$ ne diffèrent que d'une constante, le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : si on remplace $F$ par $F+C$ , alors $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$ . Pour un calcul d'intégrale, on prend donc la primitive la plus simple, avec $C=0$ .

Limites de la méthode : toutes les primitives ne s'écrivent pas

Une fonction continue admet des primitives, mais on ne sait pas toujours les exprimer avec les fonctions que tu connais. Les ressources du programme notent en effet que, pour certaines fonctions, aucune primitive explicite n'est disponible ². Un exemple cité dans les sources est celui de la fonction $x\mapsto \frac{1}{\ln x}$ : ses primitives ne s'expriment pas à l'aide des seules fonctions élémentaires ⁴.

Exercices corrigés

Exercice 1 Primitive d'un polynôme avec condition

★☆☆Environ 8 min

On considère $f(x)=3x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$ .

Détermine toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Détermine la primitive $F$ de $f$ telle que $F(1)=2$ .
Calcule $F(2)$ .

Indice 1

Traite chaque terme séparément avec la règle de $x^n$ .

Indice 2

Remplace $x$ par $1$ dans $F(x)=x^3-2x^2+5x+C$ et résous l'équation en $C$ .

Voir la correction pas à pas

Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ ; de $-4x$ est $-2x^2$ ; de $5$ est $5x$ . Les primitives de $f$ sont donc $F(x)=x^3-2x^2+5x+C$ .
On utilise la condition : $F(1)=1-2+5+C=4+C$ . Comme $F(1)=2$ , on obtient $C=-2$ .
La primitive cherchée est $F(x)=x^3-2x^2+5x-2$ .
On calcule $F(2)=8-8+10-2=8$ .

La primitive qui vaut $2$ en $1$ est $F(x)=x^3-2x^2+5x-2$ , et $F(2)=8$ . Vérification possible : $F'(x)=3x^2-4x+5=f(x)$ .

Exercice 2 Calcul d'une intégrale par primitive

★☆☆Environ 6 min

Calcule $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$ en utilisant une primitive.

Indice 1

Trouve une primitive de $2x+1$ avec la table des primitives usuelles.

Indice 2

Calcule $F(3)-F(1)$ en mettant $F(1)$ entre parenthèses.

Voir la correction pas à pas

La fonction $x\mapsto 2x+1$ est continue sur $[1\,;3]$ : elle admet des primitives.
Une primitive est $F(x)=x^2+x$ .
On applique $\int_1^3 f(x)\,dx=F(3)-F(1)$ : $F(3)=9+3=12$ et $F(1)=1+1=2$ .
Donc l'intégrale vaut $12-2=10$ .

$\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx=10$ . La constante $C$ aurait disparu dans la différence.

Exercice 3 Reconnaître la forme $u'e^u$

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=2x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $F(x)=e^{x^2}$ est une primitive de $f$ .
Calcule $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ (donne la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près).

Indice 1

Pour dériver $e^{x^2}$ , utilise la dérivée d'une composée : $(e^u)'=u'e^u$ .

Indice 2

Applique $F(1)-F(0)$ et rappelle-toi que $e^0=1$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x^2$ , donc $u'(x)=2x$ . Alors $F(x)=e^{u(x)}$ et $F'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2x\,e^{x^2}=f(x)$ .
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
On calcule $\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)=e^{1}-e^{0}$ .
La valeur exacte est $e-1$ , soit environ $1{,}718$ .

$\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx=e-1\approx 1{,}718$ .

Exercice 4 Primitive avec logarithme et condition

★★★Environ 12 min

Soit $f(x)=\dfrac1x+2x$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Détermine les primitives de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ .
Détermine la primitive $F$ qui vérifie $F(1)=3$ .
Calcule $F(e)$ (valeur exacte puis approchée).

Indice 1

Sur $]0\,;+\infty[$ , une primitive de $\frac1x$ est $\ln x$ .

Indice 2

Rappelle-toi que $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ .

Voir la correction pas à pas

Les primitives de $f$ sont $F(x)=\ln(x)+x^2+C$ .
Condition : $F(1)=\ln(1)+1+C=1+C=3$ , donc $C=2$ .
La primitive cherchée est $F(x)=\ln(x)+x^2+2$ .
On calcule $F(e)=\ln(e)+e^2+2=1+e^2+2=e^2+3$ .
Valeur approchée : $e^2\approx 7{,}389$ , donc $F(e)\approx 10{,}389$ .

$F(x)=\ln(x)+x^2+2$ et $F(e)=e^2+3\approx 10{,}389$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre une primitive et une dérivée ?

Ce sont deux opérations inverses. La dérivée de $x^3$ est $3x^2$ ; une primitive de $3x^2$ est $x^3$ . Dériver donne une seule fonction ; chercher une primitive en donne une infinité, qui se déduisent les unes des autres par ajout d'une constante ⁵.

Pourquoi y a-t-il une infinité de primitives ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle : si $F'=f$ , alors $(F+C)'=f$ pour tout réel $C$ . Dans l'autre sens, sur un intervalle, l'écart entre deux primitives d'une même fonction continue est un nombre fixe ³ : il n'y en a donc pas d'autres que les $F+C$ .

Comment savoir si ma primitive est juste ?

Dérive-la. Si tu retrouves exactement la fonction de départ, c'est une primitive. C'est un contrôle rapide et sûr, à faire à chaque exercice, y compris à l'examen.

Dois-je écrire « +C » dans un calcul d'intégrale ?

Non. Dans $F(b)-F(a)$ , la constante disparaît : on prend une primitive quelconque, le plus simplement avec $C=0$ . En revanche, quand on te demande toutes les primitives, la constante est indispensable ⁵.

Toute fonction a-t-elle une primitive que je peux écrire ?

Une fonction continue sur un intervalle possède toujours une primitive ⁴, mais pour certaines fonctions on ne peut pas l'exprimer avec les fonctions usuelles ². À ton niveau, les fonctions proposées se traitent avec les primitives usuelles et les formes $u'u^n$ , $u'e^u$ , $\frac{u'}{u}$ .

Que faire s'il manque un facteur constant devant $u'$ ?

Ajuste avec une constante. Pour $x\,e^{x^2}$ , on écrit $\frac12\times 2x\,e^{x^2}$ et la primitive est $\frac12 e^{x^2}$ . On ne peut ajuster qu'avec un nombre, jamais avec une expression en $x$ .

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Primitives et équations différentielles, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Mathématiques - Enseignement de spécialité - Ressources, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Primitive, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Table de primitives, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Primitives des fonctions usuelles

Linéarité et formes composées

Déterminer la primitive qui vérifie une condition

Primitives et calcul d'intégrales

Limites de la méthode : toutes les primitives ne s'écrivent pas

Exercices corrigés

Exercice 1 Primitive d'un polynôme avec condition

Exercice 2 Calcul d'une intégrale par primitive

Exercice 3 Reconnaître la forme $u'e^u$

Exercice 4 Primitive avec logarithme et condition

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Les questions qu'on se pose

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