Primitives : exercices corrigés de Terminale (maths complémentaires)

Pour vérifier qu'une fonction est une primitive, on la dérive. $F$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

On dérive terme à terme : $(x^3)'=3x^2$, $(-2x^2)'=-4x$, $(5x)'=5$.

On additionne : $F'(x)=3x^2-4x+5$.

On compare : $F'(x)=f(x)$ pour tout réel $x$.

Terme $4x^3$ : la dérivée de $x^4$ est $4x^3$, donc $x^4$ convient.

Terme $-6x$ : la dérivée de $-3x^2$ est $-6x$, donc $-3x^2$ convient.

Terme $1$ : la dérivée de $x$ est $1$, donc $x$ convient.

Les primitives de $f$ sont donc $F(x)=x^4-3x^2+x+C$, avec $C$ réel quelconque, puisqu'on passe d'une primitive à une autre en ajoutant une constante ³⁵.

On impose $F(1)=3$ : $1-3+1+C=3$, soit $-1+C=3$.

On résout : $C=4$. La primitive cherchée est $F(x)=x^4-3x^2+x+4$.

La dérivée de $2e^x$ est $2e^x$ : ce terme se primitive en $2e^x$.

La dérivée de $-5x$ est $-5$ : le terme constant $-5$ se primitive en $-5x$.

Les primitives de $f$ sont $F(x)=2e^x-5x+C$.

On impose $F(0)=1$ : $2e^0-0+C=1$, soit $2+C=1$.

On en déduit $C=-1$, donc $F(x)=2e^x-5x-1$.

La fonction $f:x\mapsto 3x^2-2x+1$ est continue sur $[1\,;\,3]$ : elle y admet une primitive ⁴.

On prend $F(x)=x^3-x^2+x$. Contrôle : $F'(x)=3x^2-2x+1$.

On applique $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ ⁴³ : $I=F(3)-F(1)$.

$F(3)=27-9+3=21$ et $F(1)=1-1+1=1$.

$I=21-1=20$.

On pose $u(x)=x^2$, dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $u'(x)=2x$.

La dérivée de $e^{u}$ est $u'e^{u}$, donc $F'(x)=2x\,e^{x^2}=f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$.

On applique la propriété de l'intégrale : $\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)$ ⁴.

$F(1)=e^{1}=e$ et $F(0)=e^{0}=1$.

L'intégrale vaut $e-1\approx 1{,}718$.

Pour tout réel $x$, $x^2\geq 0$ donc $x^2+1\geq 1>0$ : $\ln(x^2+1)$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Avec $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$, on a $F'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x}{x^2+1}=f(x)$.

On calcule $\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$ ⁴.

$F(2)=\ln 5$ et $F(0)=\ln 1=0$.

L'intégrale vaut $\ln 5\approx 1{,}609$.

On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^x$ : $u'(x)=a$ et $v'(x)=e^x$.

$F'(x)=a\,e^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)\,e^x$.

Pour que $F'=f$, il faut $(ax+a+b)e^x=(2x+3)e^x$ pour tout $x$. Comme $e^x>0$, on identifie : $a=2$ et $a+b=3$.

On en tire $a=2$ puis $b=1$ : $F(x)=(2x+1)e^x$.

$\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)$ ⁴ avec $F(1)=3e$ et $F(0)=1$.

L'intégrale vaut $3e-1\approx 7{,}155$.

Comme $x'=v$, la position $x$ est une primitive de $v$ sur $[0\,;\,+\infty[$ : c'est une situation de type $y'=f$ ³.

Terme $3t^2$ : primitive $t^3$. Terme $2$ : primitive $2t$. Donc $x(t)=t^3+2t+C$.

On impose $x(0)=5$ : $0+0+C=5$, d'où $C=5$ et $x(t)=t^3+2t+5$.

On calcule à $t=4$ : $x(4)=4^3+2\times 4+5=64+8+5=77$.