La valeur moyenne d'une fonction : cours de Terminale

Une moyenne sert à résumer plusieurs valeurs par un seul nombre. En mathématiques, c'est un outil de calcul qui condense une liste de nombres en un nombre unique ². Tu en as déjà calculé des dizaines : la moyenne de tes notes, la température moyenne d'une semaine, la vitesse moyenne d'un trajet.

Mais que faire quand la grandeur varie en continu ? La température d'une pièce n'est pas relevée une fois par jour : elle change à chaque instant. La vitesse d'une voiture non plus. On ne dispose alors pas d'une liste finie de valeurs, mais d'une fonction définie sur tout un intervalle de temps. Ce chapitre répond à une question simple : comment définir et calculer la « moyenne » d'une fonction sur un intervalle ?

La notion de moyenne ne s'arrête pas aux listes : elle s'étend à la valeur moyenne d'une fonction intégrable, au barycentre de points, ou à l'espérance en probabilités ². Dans ce cours, tu t'intéresses au premier de ces prolongements. Tu vas t'appuyer sur deux acquis des chapitres précédents : les primitives, qui permettent de calculer une intégrale, et le lien entre intégrale et aire, qui donne une image géométrique du résultat.

Quand certaines valeurs se répètent, on regroupe : si $x_1, \dots, x_k$ sont les valeurs distinctes et $n_1, \dots, n_k$ leurs effectifs, chaque valeur compte autant de fois qu'elle apparaît ² :

$\bar{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + \dots + n_kx_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.$

Retiens cette idée de pondération : plus une valeur est présente, plus elle pèse dans la moyenne. Elle réapparaîtra plus loin, quand on coupera un intervalle en deux morceaux de longueurs différentes.

Prenons une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Pour imiter la moyenne d'une liste, on peut échantillonner : on découpe l'intervalle en $n$ morceaux de même largeur $h = \dfrac{b-a}{n}$, on relève la valeur de $f$ en un point de chaque morceau, puis on fait la moyenne de ces $n$ relevés.

Les points de relevé sont $x_1 = a + h$, $x_2 = a + 2h$, …, $x_n = a + nh = b$. La moyenne des relevés est

$\frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n}.$

Plus $n$ est grand, plus ce procédé décrit fidèlement le comportement de $f$ sur tout l'intervalle. Il reste à reconnaître une somme d'aires de rectangles.

Multiplions la définition par $b-a$ :

$\mu \times (b-a) = \int_a^b f(x)\,dx.$

Le membre de gauche est l'aire d'un rectangle de base $b-a$ et de hauteur $\mu$. Le membre de droite est l'aire comprise entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$, lorsque $f$ est positive. La valeur moyenne est donc la hauteur du rectangle qui a la même aire que la région sous la courbe.

Dans les propriétés qui suivent, $f$ et $g$ sont continues sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. On note $\mu(f)$ la valeur moyenne de $f$ sur cet intervalle. Elles se déduisent des propriétés de l'intégrale, que tu connais déjà, en conservant le facteur $\dfrac{1}{b-a}$.

Pour $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$, nous avons trouvé une abscisse $c = \sqrt{3}$ où la fonction vaut exactement sa valeur moyenne. Ce n'est pas un hasard. La valeur moyenne $\mu$ est comprise entre le minimum $m$ et le maximum $M$ de $f$ sur l'intervalle. Or une fonction continue prend toutes les valeurs comprises entre $m$ et $M$ (théorème des valeurs intermédiaires).

La valeur moyenne apparaît dès qu'une grandeur varie dans le temps et qu'on veut la résumer par un seul nombre : vitesse, intensité, concentration d'un médicament, coût, température. Dans chaque cas, le sens de l'intégrale (quantité cumulée) guide l'interprétation : si $v(t)$ est une vitesse, $\displaystyle\int v(t)\,dt$ est une distance, et la division par la durée redonne une vitesse.