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Modèles d'évolution

• Modèle exponentiel : $y' = ky$ donne $y(t) = y_0 e^{kt}$. Il convient sur une courte durée, tant que rien ne freine la croissance.
• Modèle avec limite : $y' = ay + b$ avec $a<0$ donne $y(t) = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{at} - \dfrac{b}{a}$, qui tend vers la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$.
• Modèle logistique : $y' = ry\left(1-\dfrac{y}{K}\right)$ donne $y(t) = \dfrac{K}{1+\left(\frac{K}{y_0}-1\right)e^{-rt}}$ ; la population tend vers la capacité $K$.
• Astuce de résolution : en posant $z = \dfrac{1}{y}$, l'équation logistique devient une équation du type $z' = az + b$.