Valeur moyenne d'une fonction : exercices corrigés de Terminale

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;\,3]$ (c'est une fonction affine), donc la valeur moyenne existe. L'intervalle a pour longueur $3$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=x^2+x$.

On calcule l'intégrale : $\int_0^3 (2x+1)\,dx=F(3)-F(0)=(9+3)-0=12$.

On divise par la longueur : $\mu=\dfrac{12}{3}=4$.

Vérification : $f(0)=1$ et $f(3)=7$, et $4$ est bien compris entre $1$ et $7$. C'est même la valeur de $f$ au milieu de l'intervalle, $f(1{,}5)=4$, ce qui est normal pour une fonction affine.

La fonction carré est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0\,;\,3]$. La longueur de l'intervalle est $3$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.

$\int_0^3 x^2\,dx=F(3)-F(0)=\dfrac{27}{3}-0=9$.

$\mu=\dfrac{9}{3}=3$.

Contrôle : sur $[0\,;\,3]$, $f$ varie de $0$ à $9$, et $3$ est bien entre ces deux valeurs.

La fonction $v$ est polynomiale donc continue sur $[1\,;\,4]$. La longueur de l'intervalle est $3$.

Une primitive de $v$ est $V(t)=t^3+t^2$.

$V(4)=64+16=80$ et $V(1)=1+1=2$, donc $\int_1^4 v(t)\,dt=80-2=78$.

$\mu=\dfrac{78}{3}=26$.

Contrôle : $v(1)=5$ et $v(4)=56$, et la fonction est croissante sur l'intervalle. Le nombre $26$ est bien entre $5$ et $56$.

La fonction $T$ est polynomiale donc continue sur $[0\,;\,8]$. La longueur de l'intervalle est $8$ heures.

Une primitive de $T$ est $G(t)=-\dfrac{t^3}{3}+4t^2+2t$.

$G(8)=-\dfrac{512}{3}+256+16=\dfrac{-512+816}{3}=\dfrac{304}{3}$, et $G(0)=0$.

$\mu=\dfrac{1}{8}\times\dfrac{304}{3}=\dfrac{38}{3}\approx 12{,}67$.

Contrôle : $T(0)=2$, $T(4)=18$ (maximum) et $T(8)=2$. La valeur $12{,}67$ est bien entre $2$ et $18$.

La longueur de l'intervalle est $5-1=4$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+ax$.

$\int_1^5 (x+a)\,dx=\left(\dfrac{25}{2}+5a\right)-\left(\dfrac{1}{2}+a\right)=12+4a$.

Donc $\mu=\dfrac{12+4a}{4}=3+a$.

On veut $\mu=7$ : $3+a=7$, donc $a=4$.

Vérification : $f(x)=x+4$ vaut $5$ en $1$ et $9$ en $5$ ; sa valeur au milieu, $f(3)=7$, correspond bien à la moyenne.

On veut $f(c)=\mu$, c'est-à-dire $c^2=3$.

Cette équation a deux solutions réelles : $c=\sqrt{3}$ et $c=-\sqrt{3}$.

Seule $\sqrt{3}\approx 1{,}732$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,3]$ ; $-\sqrt{3}$ est négatif.

Vérification : $\sqrt{3}^{\,2}=3=\mu$.

La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$. La longueur de l'intervalle est $\ln 3-0=\ln 3$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=e^x$.

$\int_0^{\ln 3} e^x\,dx=e^{\ln 3}-e^0=3-1=2$.

$\mu=\dfrac{2}{\ln 3}$.

Valeur approchée : $\ln 3\approx 1{,}0986$, donc $\mu\approx 1{,}820$.

Contrôle : sur l'intervalle, $f$ varie de $e^0=1$ à $e^{\ln 3}=3$, et $1{,}82$ est entre $1$ et $3$.

La fonction inverse est continue sur $[1\,;\,e]$, intervalle inclus dans $]0\,;\,+\infty[$. La longueur de l'intervalle est $e-1\approx 1{,}718$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=\ln x$.

$\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx=\ln e-\ln 1=1-0=1$.

$\mu=\dfrac{1}{e-1}$.

Valeur approchée : $\mu\approx 0{,}582$.

Contrôle : sur l'intervalle, $f$ décroît de $f(1)=1$ à $f(e)=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}368$. Le nombre $0{,}582$ est entre ces deux valeurs.

Le sinus est continu sur $\mathbb{R}$. La longueur de l'intervalle est $\pi$.

Une primitive de $\sin$ est $F(x)=-\cos x$.

$\int_0^{\pi}\sin x\,dx=-\cos\pi-(-\cos 0)=1+1=2$.

$\mu=\dfrac{2}{\pi}\approx 0{,}637$.

Comparaison : le maximum de $\sin$ sur $[0\,;\,\pi]$ vaut $1$ (en $\frac{\pi}{2}$) et le minimum vaut $0$. La moyenne $0{,}637$ est bien comprise entre $0$ et $1$, et nettement inférieure au maximum.