Valeur moyenne d'une fonction : fiche de Terminale (option)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La valeur moyenne de f sur [a;b] vaut μ=b−a1∫abf(x)dx.
Elle prolonge la moyenne arithmétique d'une liste de valeurs au cas d'une infinité de valeurs.
Interprétation : le rectangle de base [a;b] et de hauteur μ a la même aire que la surface sous la courbe (pour f positive).
Elle reste comprise entre les valeurs extrêmes de f sur l'intervalle.
On divise toujours par la longueur b−a, jamais par 2 ni par b.
D'où vient la valeur moyenne ?
Pour une liste de valeurs, la moyenne arithmétique se calcule comme la somme des termes divisée par leur nombre 2. Quand les valeurs se répètent, on peut regrouper : si la valeur xi apparaît ni fois, on pondère chaque valeur par son effectif 2. La notion de moyenne s'étend ensuite à la valeur moyenne d'une fonction intégrable 2.
L'idée est simple. Une fonction f prend une infinité de valeurs sur un intervalle. On ne peut pas les additionner une à une, mais l'intégrale joue le rôle de la « somme » et la longueur de l'intervalle celui du « nombre de termes ». D'où la définition ci-dessous.
Calculer une valeur moyenne
Interprétation graphique
Pièges fréquents
À quoi ça sert ?
La valeur moyenne résume une grandeur qui varie en continu : température moyenne sur une journée, vitesse moyenne, coût moyen, intensité moyenne d'un courant. Une moyenne glissante, elle, est calculée sur des sous-ensembles de valeurs consécutives pour dégager une tendance dans le temps 2.
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On divise l'intégrale par la longueur b−a de l'intervalle. L'intégrale seule est une aire. 2f(a)+f(b) ne convient que pour une fonction affine, et diviser par b n'est correct que si a=0.
Une primitive est x3, donc ∫023x2dx=8. On divise par 2−0=2 : μ=4. Oublier la division donnerait 8, qui est une aire et non une moyenne.
Faux. Une moyenne est intermédiaire entre les valeurs extrêmes 2, donc ici 2≤μ≤5. Une valeur de 6 révèle une erreur de calcul, par exemple une division oubliée.
Comme μ(b−a)=∫abf(x)dx, c'est l'aire sous la courbe, égale à celle du rectangle de hauteur μ. Ni la longueur de la courbe ni le maximum ne se calculent ainsi.
Les questions qu'on se pose
La valeur moyenne est-elle la même chose que la moyenne de $f(a)$ et $f(b)$ ?
Non, sauf pour une fonction affine. Pour f(x)=x2 sur [0;3], la valeur moyenne est 3 alors que la moyenne de f(0) et f(3) est 4,5. La valeur moyenne tient compte de toutes les valeurs prises entre les bornes, pas seulement des extrémités.
La valeur moyenne peut-elle être négative ?
Oui, si f est le plus souvent négative sur l'intervalle. L'intégrale est alors négative et la division par b−a>0 garde ce signe. L'interprétation par l'aire du rectangle suppose en revanche f positive.
Quel lien avec la valeur efficace d'un courant ?
La valeur efficace s'obtient en calculant la moyenne du carré de la grandeur sur une période, puis en prenant la racine carrée 3. On calcule donc d'abord la valeur moyenne de f2, puis on prend la racine : c'est une autre quantité que la valeur moyenne de f.