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L'équation y' = ay : cours de Terminale (maths complémentaires)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction ; y' = ay relie la fonction à sa propre dérivée, avec a un réel fixé.
Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont toutes les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , où $C$ est un réel quelconque.
Une condition initiale $y(x_0)=y_0$ fixe C et donne une solution unique : $C = y_0 e^{-ax_0}$ .
Si $a>0$ la solution est croissante en valeur absolue (croissance), si $a<0$ elle tend vers 0 (décroissance).
Une équation du type $\alpha y' + \beta y = 0$ se ramène à $y'=ay$ en divisant par $\alpha$ .

Pourquoi étudier y' = ay ?

Beaucoup de phénomènes évoluent de façon continue : une population qui grandit, une quantité de substance qui diminue, un capital qui rapporte des intérêts à chaque instant. Pour les décrire, on ne cherche pas une suite de valeurs, mais une fonction du temps. Dans les ressources pédagogiques de la spécialité, c'est justement une recherche de modèle continu qui conduit à l'équation différentielle $y'=y$ et à l'introduction de la fonction exponentielle ².

L'idée de départ est simple. Dans beaucoup de situations, la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même : plus il y a d'individus, plus il en naît par unité de temps. Si on note $y(t)$ la grandeur à l'instant $t$ , la vitesse de variation est $y'(t)$ , et cette proportionnalité s'écrit

$y'(t) = a\,y(t)$

où $a$ est un réel constant. C'est l'équation que tu vas apprendre à résoudre dans ce cours.

La résolution des équations différentielles fait l'objet d'une introduction spécifique en classe de terminale de spécialité mathématiques, avec des séances conçues pour la découvrir progressivement ¹. Dans ce chapitre, tu vas : comprendre ce que veut dire « résoudre une équation différentielle », démontrer que les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$ , utiliser une condition initiale pour trouver la solution qui t'intéresse, puis appliquer une méthode rédigée sur des exemples. Le chapitre suivant, sur les modèles d'évolution, réutilise tout cela.

Équation différentielle : le vocabulaire

La différence avec une équation ordinaire est là : dans $2x+3=11$ , l'inconnue est un nombre et il y a une seule solution. Dans $y'=3y$ , l'inconnue est une fonction, et il y en aura une infinité.

Une équation différentielle est dite linéaire d'ordre 1 lorsque seule la dérivée première de la fonction inconnue intervient, et que l'équation est de la forme d'une combinaison de $y'$ et de $y$ ³. L'équation $y'=ay$ en est un cas particulier : il n'y a pas de terme supplémentaire, ce qu'on appelle un second membre nul. On parle alors d'équation homogène : c'est le vocabulaire utilisé quand la fonction $c$ du second membre est nulle ³. Ces équations se résolvent par des procédés systématiques qui font appel au calcul de primitives, et dans le cas homogène on peut espérer écrire les solutions avec les fonctions usuelles ³.

Le point de départ : la fonction exponentielle

Pour résoudre $y'=ay$ , il faut au moins une fonction qui soit égale à sa propre dérivée. Le cas $a=1$ est celui qui sert à introduire la fonction exponentielle dans le programme de la spécialité : la démarche part de la notion d'équation différentielle et aboutit à cette fonction ².

Une fois $e^x$ connue, on fabrique $e^{ax}$ par composition. Si $g(x) = e^{ax}$ , la dérivée d'une fonction du type $x \mapsto u(ax)$ est $x \mapsto a\,u'(ax)$ . Avec $u=\exp$ :

$g'(x) = a\,e^{ax} = a\,g(x).$

La fonction $x \mapsto e^{ax}$ est donc bien une solution de $y'=ay$ . Il reste à savoir s'il y en a d'autres : c'est l'objet du théorème suivant.

Le théorème : toutes les solutions de y' = ay

Démonstration · Démonstration

Sens direct. On a déjà vu que $x \mapsto Ce^{ax}$ est solution pour tout réel $C$ .

Sens réciproque. Soit $f$ une solution quelconque de $y'=ay$ sur $\mathbb{R}$ . On introduit la fonction auxiliaire

$h(x) = f(x)\,e^{-ax}.$

Elle est dérivable comme produit de fonctions dérivables. Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

$h'(x) = f'(x)e^{-ax} + f(x)\cdot(-a)e^{-ax} = \big(f'(x) - a f(x)\big)e^{-ax}.$

Comme $f'(x) = af(x)$ , la parenthèse est nulle, donc $h'(x)=0$ pour tout $x$ . Une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel $C$ tel que $h(x)=C$ pour tout $x$ .

On écrit alors $f(x)e^{-ax} = C$ . En multipliant par $e^{ax}$ (jamais nul), on obtient $f(x) = Ce^{ax}$ . Toute solution a donc bien la forme annoncée.

Cette démonstration suit une idée très utile : pour comparer une solution inconnue à une solution connue, on forme un produit avec l'inverse d'une solution connue et on montre que sa dérivée est nulle. Tu la retrouveras pour d'autres équations.

Quelques solutions de y' = y et de y' = -y · Chaque courbe représente une solution ; la constante C fixe la hauteur en x = 0.

Sur le graphique, chaque courbe est celle d'une solution de $y'=y$ (cas $a=1$ avec $C=1$ et $C=2$ ) ou de $y'=-y$ (cas $a=-1$ avec $C=1$ ). Toutes les courbes de la famille $Ce^{x}$ se déduisent les unes des autres par un étirement vertical, et aucune ne coupe l'axe des abscisses.

Condition initiale : choisir la bonne solution

Dans un problème concret, on connaît la valeur de la grandeur à un instant précis : la population au départ, la masse initiale d'un produit. Cette donnée s'appelle une condition initiale. Elle sert à déterminer la constante $C$ .

Démonstration · Démonstration

Toute solution s'écrit $f(x)=Ce^{ax}$ . La condition $f(x_0)=y_0$ donne $Ce^{ax_0}=y_0$ , donc $C = y_0e^{-ax_0}$ : la constante est imposée, il n'y a qu'une possibilité. Réciproquement, avec cette valeur de $C$ , on a bien $f(x) = y_0 e^{-ax_0}e^{ax} = y_0e^{a(x-x_0)}$ et $f(x_0)=y_0e^0 = y_0$ .

Le cas le plus fréquent est $x_0=0$ . Alors $C = y_0$ et la solution est simplement $f(x)=y_0e^{ax}$ : la constante est la valeur de départ.

Méthode de résolution et exemples

Lire aIsoler y' et repérer a avec son signe
Forme généraleÉcrire f(x) = C e^{ax}
ConditionRemplacer x par x0 : f(x0) = y0
Calculer CC = y0 e^{-a x0}, puis écrire f
ContrôlerDériver f et vérifier f' = a f

Résoudre y' = ay avec une condition initiale

Ce que dit le signe de a

Le comportement de la solution $f(x)=Ce^{ax}$ se lit directement sur $a$ et $C$ . Sa dérivée est $f'(x)=aCe^{ax}$ , du signe de $aC$ puisque $e^{ax}>0$ .

Comportement de la solution Ce^{ax} selon a et C
Cas	Variation de f	Limite en +∞
a > 0, C > 0	Croissante	+∞
a > 0, C < 0	Décroissante	-∞
a < 0, C > 0	Décroissante	0
a < 0, C < 0	Croissante	0
a = 0	Constante (égale à C)	C

Comportement de la solution Ce^{ax} selon a et C

Ces observations sont à la base des modèles d'évolution, chapitre qui suit celui-ci. Si $a>0$ , la grandeur augmente de plus en plus vite : c'est un modèle de croissance. Si $a<0$ , la grandeur diminue en se rapprochant de 0 : c'est un modèle de décroissance. La constante $C$ ne change pas ce comportement, elle règle seulement l'échelle de départ.

Erreurs fréquentes et vérifications

Exercices corrigés

Exercice 1 Résoudre avec une condition en 0

★☆☆Environ 6 min

On considère l'équation différentielle $y' = -2y$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner toutes les solutions.
Déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=7$ .
Calculer $f(1)$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près).

Indice 1

Identifie la valeur de a, avec son signe.

Indice 2

Pour x = 0, e^{a×0} vaut 1.

Voir la correction pas à pas

Ici $a=-2$ : les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-2x}$ , avec $C$ réel.
On utilise $f(0)=7$ : $Ce^{0}=C=7$ .
La solution est $f(x)=7e^{-2x}$ .
On calcule $f(1)=7e^{-2}\approx 7\times 0{,}13534\approx 0{,}9473$ .

La solution est $f(x)=7e^{-2x}$ et $f(1)\approx 0{,}9473$ . La fonction est décroissante, ce qui est cohérent avec $a<0$ .

Exercice 2 Condition initiale en un autre point

★★☆Environ 8 min

Soit $f$ la solution de $y'=2y$ vérifiant $f(1)=4$ .

Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ .
Calculer $f(0)$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près).

Indice 1

Les solutions sont Ce^{2x} ; écris l'équation f(1) = 4 d'inconnue C.

Indice 2

Utilise y_0 e^{a(x - x_0)} si tu préfères la formule directe.

Voir la correction pas à pas

Les solutions sont $f(x)=Ce^{2x}$ .
La condition $f(1)=4$ donne $Ce^{2}=4$ , donc $C=4e^{-2}$ .
On obtient $f(x)=4e^{-2}e^{2x}=4e^{2(x-1)}$ .
Pour $x=0$ : $f(0)=4e^{-2}\approx 0{,}5413$ .

$f(x)=4e^{2(x-1)}$ et $f(0)\approx 0{,}5413$ . Cette valeur est bien plus petite que 4 : on recule d'une unité par rapport au point $x=1$ , et la fonction, croissante, y prend des valeurs plus faibles.

Exercice 3 Équation à transformer

★★☆Environ 8 min

Résoudre l'équation $4y' - 8y = 0$ , puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0)=3$ . Calculer enfin $f(0{,}5)$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près).

Indice 1

Divise par 4 pour isoler y'.

Indice 2

Un nombre à la puissance 2 × 0,5 donne un exposant simple.

Voir la correction pas à pas

On isole $y'$ : $4y'=8y$ , donc $y'=2y$ et $a=2$ .
Les solutions sont $Ce^{2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
Avec $f(0)=3$ : $C=3$ , donc $f(x)=3e^{2x}$ .
$f(0{,}5)=3e^{1}=3e\approx 8{,}1548$ .

La solution est $f(x)=3e^{2x}$ et $f(0{,}5)=3e\approx 8{,}1548$ .

Exercice 4 Durée de demi-vie

★★★Environ 12 min

La quantité $y(t)$ d'une substance, en grammes, vérifie $y'=-0{,}1\,y$ où $t$ est en heures, avec $y(0)=80$ .

Donner l'expression de $y(t)$ .
Déterminer au bout de combien d'heures la quantité est divisée par 2 (valeur approchée à $10^{-2}$ près).
Le résultat dépend-il de la quantité initiale ?

Indice 1

Divisée par 2 signifie y(t) = 40.

Indice 2

Prends le logarithme népérien des deux côtés, en te rappelant que ln(1/2) = -ln 2.

Voir la correction pas à pas

Ici $a=-0{,}1$ et $y(0)=80$ : $y(t)=80e^{-0{,}1t}$ .
On résout $80e^{-0{,}1t}=40$ , soit $e^{-0{,}1t}=\tfrac12$ .
Avec le logarithme : $-0{,}1t=\ln\tfrac12=-\ln 2$ , donc $t=10\ln 2\approx 6{,}93$ .
Dans le calcul, le facteur 80 se simplifie avec le 40 : en remplaçant 80 par $y_0$ , la condition devient $e^{-0{,}1t}=\tfrac12$ . Le résultat ne dépend donc pas de $y_0$ .

La quantité est divisée par 2 au bout de $10\ln 2\approx 6{,}93$ heures, quelle que soit la quantité initiale.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi y' = ay a-t-elle une infinité de solutions ?

Parce que la constante $C$ reste libre : $Ce^{ax}$ est solution pour tout réel $C$ . L'équation exprime seulement un lien entre la fonction et sa dérivée, pas la valeur de la fonction. C'est la condition initiale qui sélectionne une seule solution.

À quoi sert l'équation y' = ay concrètement ?

Elle décrit les situations où la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à cette grandeur : croissance d'une population sans contrainte, décroissance d'une quantité de substance, par exemple. La recherche d'un modèle continu de ce type est justement ce qui motive l'étude des équations différentielles en spécialité ². Le chapitre « Modèles d'évolution » développe ces applications.

Comment savoir si une équation est de la forme y' = ay ?

Ramène-la à $y'=\dots$ : si le membre de droite est un nombre fixé multiplié par $y$ , sans autre terme, c'est le bon type. Les équations comme $2y'-6y=0$ ou $y'+4y=0$ s'y ramènent en isolant $y'$ . S'il reste un terme sans $y$ (par exemple $y'=3y+2$ ), il y a un second membre non nul : l'équation est linéaire d'ordre 1 avec second membre, et il suffit alors de trouver une solution particulière pour connaître toutes les solutions ³.

Peut-on avoir une solution qui change de signe ?

Non. Une solution est $Ce^{ax}$ et $e^{ax}$ est toujours strictement positive. Le signe de la solution est donc celui de $C$ sur tout $\mathbb{R}$ . La seule solution qui s'annule est la fonction nulle, obtenue pour $C=0$ .

Que faire si l'énoncé donne la condition en un point autre que 0 ?

Remplace $x$ par ce point dans $Ce^{ax}$ et résous l'équation en $C$ . Par exemple, avec $f(2)=5$ et $a=3$ : $Ce^{6}=5$ , donc $C=5e^{-6}$ . Tu peux aussi utiliser directement $f(x)=y_0e^{a(x-x_0)}$ .

Sources

Introduction aux équations différentielles, Éduscol - Édubase. Consulté le 6 novembre 2026.
Mathématiques complémentaires - Ressources pédagogiques, Académie de Montpellier. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation différentielle linéaire d'ordre un, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équations de Navier-Stokes, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi étudier y' = ay ?

Équation différentielle : le vocabulaire

Le point de départ : la fonction exponentielle

Le théorème : toutes les solutions de y' = ay

Condition initiale : choisir la bonne solution

Méthode de résolution et exemples

Ce que dit le signe de a

Erreurs fréquentes et vérifications

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Exercice 1 Résoudre avec une condition en 0

Exercice 2 Condition initiale en un autre point

Exercice 3 Équation à transformer

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Les questions qu'on se pose

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