Équation y' = ay : quiz de Terminale (maths complémentaires)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation y′=ay (avec a réel) est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 homogène : le second membre est nul 3.
Ses solutions sont les fonctions x↦Ceax, où C est une constante réelle quelconque.
Une condition initiale y(x0)=y0 fixe C : il n'y a alors qu'une seule solution.
Le signe de a donne le sens de variation : croissance exponentielle si a>0 (et C>0), décroissance si a<0 (et C>0).
Avant de commencer
Ce quiz couvre l'équation différentielle y′=ay du programme de Terminale en mathématiques complémentaires. Tu y retrouveras la forme des solutions, le calcul de la constante grâce à une condition initiale, la lecture du signe de a et la transformation d'une équation écrite autrement, comme y′+3y=0. Chaque question est suivie d'une explication qui détaille la bonne réponse et l'erreur qu'on commet le plus souvent.
Démonstration · Pourquoi ces fonctions, et seulement elles
Elles conviennent. Si y(x)=Ceax, alors y′(x)=Caeax=ay(x).
Ce sont les seules. Soit y une solution. On pose z(x)=y(x)e−ax. Alors z′(x)=y′(x)e−ax−ay(x)e−ax=(y′(x)−ay(x))e−ax=0. La fonction z a une dérivée nulle sur R, elle est donc constante, égale à un réel C. Ainsi y(x)=Ceax.
Quiz
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Les solutions de y′=ay sont Ceax ; ici a=3. Dériver Ce3x donne 3Ce3x=3y, ce qui convient. La réponse Cex/3 inverse le rôle de a : sa dérivée vaut 31y. La réponse e3x+C est fausse car sa dérivée 3e3x n'est pas égale à 3(e3x+C) dès que C=0.
Ici a=−2, donc y(x)=Ce−2x. La condition y(0)=C=5 donne y(x)=5e−2x. La réponse 5e2x oublie le signe de a : elle vérifie y′=2y. La réponse e−2x+5 ajoute la constante au lieu de la multiplier, et elle ne vérifie pas l'équation.
La solution est y(x)=3e2x, donc y(1)=3e2≈3×7,389≈22,17. L'erreur fréquente est de calculer 3×2=6, ou e3×2 : la constante 3 multiplie l'exponentielle et l'exposant est ax=2x.
Vrai : la fonction nulle correspond à C=0 dans Ceax. Sa dérivée est nulle et a×0=0, donc l'égalité y′=ay est vérifiée. Penser qu'elle est exclue parce qu'une exponentielle ne s'annule jamais est une erreur : c'est le facteur C qui s'annule.
e4x a pour dérivée 4e4x : elle convient. −2e4x a pour dérivée −8e4x=4×(−2e4x) : elle convient aussi, avec C=−2. Pour e4x+1, la dérivée vaut 4e4x alors que 4y=4e4x+4 : elle ne convient pas. Pour 4ex, la dérivée vaut 4ex=y, pas 4y.
Avec y(0)=2, on a y(x)=2eax, donc y(1)=2ea. L'égalité 2ea=2e3 donne a=3 car l'exponentielle est strictement croissante. Les réponses 2 et 6 viennent d'un mélange entre la constante C=2 et le coefficient a.
La solution est y(x)=10e−x. Donc y(ln2)=10e−ln2=10×21=5. L'erreur tentante est de garder eln2=2 sans le signe moins, ce qui donnerait 20 : or a=−1 impose un exposant négatif.
Vrai : y(x)=4e−0,5x est strictement positive, donc y′(x)=−0,5y(x)<0 pour tout x. La fonction est décroissante. Dire qu'elle finit par devenir négative est faux : une exponentielle multipliée par 4 reste positive, elle se rapproche de 0 sans l'atteindre.
L'ordre est celui de la dérivée la plus élevée : ici y′, donc l'ordre est 1. L'équation est de la forme y′+⋯=c avec c nulle, ce qui la rend homogène 3. Le fait que la solution soit une exponentielle n'a aucun rapport avec la linéarité de l'équation, qui porte sur la façon dont y et y′ apparaissent.
On isole y′ : y′=−3y, donc a=−3 et les solutions sont Ce−3x. La réponse Ce3x est l'erreur la plus courante : elle lit le coefficient 3 tel qu'il est écrit, sans tenir compte du passage de 3y de l'autre côté du signe égal.
Comme y(0)=1, on a y(x)=eax, donc y(2)=e2a=9. En passant au logarithme, 2a=ln9 et a=2ln9=ln3≈1,099. Répondre a=3 revient à confondre e2a=9 avec ea=3 sans passer par le logarithme.
On a y(x)=Ceax et y(1)=Cea=0. Comme ea=0, on obtient C=0 : la fonction est nulle partout. Une solution non nulle ne s'annule donc jamais. La réponse « un seul point » imagine une fonction qui change de signe, ce qu'une solution de y′=ay ne fait pas. La réponse ea(x−1) vaut 1 en x=1, pas 0.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi la solution de y' = ay contient-elle une constante C ?
Parce que l'équation ne fixe que la manière dont la fonction varie, pas sa valeur de départ. Toutes les fonctions Ceax ont une dérivée égale à a fois elles-mêmes, quelle que soit la valeur de C. Une condition initiale comme y(0)=5 sert à choisir une seule de ces fonctions : c'est ce qui permet de calculer C.
Comment savoir si je dois chercher C avec x = 0 ?
Tu utilises le point donné par l'énoncé, qui n'est pas toujours x=0. Si la condition est y(x0)=y0, tu écris Ceax0=y0, puis C=y0e−ax0. Avec x0=0, l'exponentielle vaut 1 et on retrouve C=y0, ce qui explique que ce cas soit le plus fréquent.