Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Équation y' = ay : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , avec $C$ un réel quelconque.
Une condition initiale $y(x_0)=y_0$ fixe la constante : $C = y_0 e^{-a x_0}$ .
Une équation écrite sous une autre forme ( $y'+4y=0$ , $5y'=-3y$ ) se ramène d'abord à $y'=ay$ en isolant $y'$ .
Pour prouver qu'il n'y a pas d'autres solutions, on dérive le produit $f(x)e^{-ax}$ et on montre qu'il est constant.
Si $a<0$ la solution décroît vers 0 ; si $a>0$ elle croît : cela guide la lecture de tout problème de modèle d'évolution.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'adressent à toi si tu prépares le chapitre sur les équations différentielles en Terminale. Ils vont du plus simple au plus délicat : commence par le niveau 1, même si tu te sens à l'aise. Chaque exercice a un ou deux indices. Cherche d'abord seul(e) pendant quelques minutes, ouvre un indice seulement si tu es bloqué(e), puis compare ta rédaction avec la correction pas à pas.

Les exercices

Exercice 1 Une valeur après une unité de temps

★☆☆Environ 5 min

On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 3y$ et la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$ .

Donne la forme générale des solutions de $(E)$ .
Détermine $f$ .
Calcule $f(1)$ ; donne une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Indice 1

La forme générale est $Ce^{ax}$ ; ici, que vaut $a$ ?

Indice 2

Remplace $x$ par $0$ dans $Ce^{3x}$ : que devient l'exponentielle ?

Voir la correction pas à pas

On lit $a = 3$ : les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{3x}$ , avec $C$ réel.
La condition $f(0)=2$ donne $Ce^{0} = 2$ , donc $C = 2$ puisque $e^0 = 1$ .
Ainsi $f(x) = 2e^{3x}$ .
On calcule $f(1) = 2e^{3} \approx 2 \times 20{,}0855 \approx 40{,}1711$ .

La solution cherchée est $f(x) = 2e^{3x}$ et $f(1) = 2e^3 \approx 40{,}1711$ . Quand la condition est donnée en $x_0 = 0$ , la constante $C$ est simplement la valeur initiale.

Exercice 2 Une décroissance exponentielle

★☆☆Environ 5 min

Soit $g$ la solution de $y' = -2y$ telle que $g(0) = 5$ .

Écris l'expression de $g(x)$ .
Calcule $g\left(\tfrac12\right)$ ; donne une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
La fonction $g$ est-elle croissante ou décroissante sur $\mathbb{R}$ ? Justifie.

Indice 1

Ici $a = -2$ : attention au signe dans l'exposant.

Indice 2

Pour le sens de variation, dérive $g$ ou utilise l'équation $g' = -2g$ et le signe de $g$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $a = -2$ , les solutions sont $x \mapsto Ce^{-2x}$ .
$g(0) = C = 5$ , donc $g(x) = 5e^{-2x}$ .
$g\left(\tfrac12\right) = 5e^{-1} = \dfrac{5}{e} \approx 1{,}8394$ .
Comme $e^{-2x} > 0$ pour tout $x$ , on a $g(x) > 0$ , donc $g'(x) = -2g(x) < 0$ : $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

On a $g(x) = 5e^{-2x}$ et $g\left(\tfrac12\right) \approx 1{,}8394$ . Quand $a < 0$ , une solution de valeur initiale positive décroît et reste positive.

Exercice 3 Retrouver le coefficient a

★☆☆Environ 5 min

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 7e^{0{,}4x}$ est solution d'une équation de la forme $y' = ay$ .

Calcule $f'(x)$ .
En déduis la valeur du réel $a$ .

Indice 1

Dérive $7e^{0{,}4x}$ avec la formule de dérivation de $e^{kx}$ .

Indice 2

Compare $f'(x)$ et $f(x)$ : par quel nombre faut-il multiplier $f(x)$ pour obtenir $f'(x)$ ?

Voir la correction pas à pas

La dérivée de $x \mapsto e^{kx}$ est $x \mapsto ke^{kx}$ , donc $f'(x) = 7 \times 0{,}4\, e^{0{,}4x}$ .
On a donc $f'(x) = 0{,}4 \times 7e^{0{,}4x} = 0{,}4\, f(x)$ .
Par identification avec $y' = ay$ , on obtient $a = 0{,}4$ .

La fonction $f$ est solution de $y' = 0{,}4y$ . Le coefficient $a$ est le nombre qui figure dans l'exposant, quelle que soit la constante $C$ devant l'exponentielle.

Exercice 4 Condition initiale en un point autre que 0

★★☆Environ 8 min

On cherche la solution $h$ de $y' = 2y$ qui vérifie $h(1) = 3$ .

Écris l'équation d'inconnue $C$ obtenue avec la condition initiale.
Résous-la et donne la valeur exacte de $C$ , puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
Vérifie que ton expression de $h$ satisfait bien $h(1)=3$ .

Indice 1

Les solutions sont $Ce^{2x}$ ; remplace $x$ par $1$ .

Indice 2

Pour isoler $C$ , multiplie les deux membres par $e^{-2}$ .

Voir la correction pas à pas

Les solutions de $y'=2y$ sont $x\mapsto Ce^{2x}$ .
La condition $h(1)=3$ s'écrit $Ce^{2} = 3$ .
On divise par $e^2$ , qui n'est pas nul : $C = 3e^{-2}$ , soit $C \approx 0{,}4060$ .
Donc $h(x) = 3e^{-2}e^{2x} = 3e^{2x-2} = 3e^{2(x-1)}$ .
Vérification : $h(1) = 3e^{0} = 3$ . La condition est bien respectée.

On obtient $C = 3e^{-2} \approx 0{,}4060$ et $h(x) = 3e^{2(x-1)}$ . Ici $C$ n'est pas la valeur initiale : c'est la constante qu'il faut devant $e^{2x}$ pour que la courbe passe par le point $(1\,;\,3)$ .

Exercice 5 Équation à remettre en forme et instant atteint

★★☆Environ 10 min

Soit $(F) : y' + 4y = 0$ et $u$ la solution de $(F)$ telle que $u(0)=10$ .

Mets $(F)$ sous la forme $y' = ay$ et donne $a$ .
Détermine $u(x)$ .
Résous l'équation $u(x) = 5$ et donne la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Indice 1

Passe $4y$ de l'autre côté de l'égalité.

Indice 2

Après avoir écrit $10e^{-4x}=5$ , isole l'exponentielle puis applique la fonction logarithme népérien.

Voir la correction pas à pas

De $y'+4y=0$ on tire $y' = -4y$ : $a=-4$ .
Les solutions sont $Ce^{-4x}$ ; $u(0)=C=10$ , donc $u(x)=10e^{-4x}$ .
$u(x)=5 \iff 10e^{-4x}=5 \iff e^{-4x}=\dfrac12$ .
On applique $\ln$ , croissante et définie sur $]0\,;+\infty[$ : $-4x = \ln\left(\tfrac12\right) = -\ln 2$ .
D'où $x = \dfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}1733$ .

La valeur est divisée par 2 en $x = \dfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}1733$ . Ce temps ne dépend pas de la valeur de départ : il ne dépend que de $a$ .

Exercice 6 Déterminer a à partir de deux valeurs

★★☆Environ 10 min

Une fonction $f$ est solution d'une équation $y' = ay$ où $a$ est un réel inconnu. On sait que $f(0)=3$ et $f(2)=12$ .

Écris $f(x)$ en fonction de $a$ .
Détermine la valeur exacte de $a$ , puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
Donne l'expression finale de $f$ sous la forme $3\times k^x$ avec $k$ à préciser.

Indice 1

Utilise d'abord $f(0)=3$ pour trouver la constante, puis $f(2)=12$ pour trouver $a$ .

Indice 2

Tu devras résoudre $e^{2a}=4$ : pense à $\ln$ .

Indice 3

Pour la forme $3k^x$ , rappelle-toi que $e^{ax}=(e^{a})^x$ .

Voir la correction pas à pas

Les solutions sont $Ce^{ax}$ ; $f(0)=C=3$ , donc $f(x)=3e^{ax}$ .
La condition $f(2)=12$ donne $3e^{2a}=12$ , soit $e^{2a}=4$ .
On applique $\ln$ : $2a=\ln 4$ , donc $a=\dfrac{\ln 4}{2}$ .
Comme $\ln 4 = 2\ln 2$ , on obtient $a=\ln 2\approx 0{,}6931$ .
Alors $e^{a}=2$ et $f(x)=3e^{x\ln 2}=3\times 2^{x}$ .

On trouve $a=\ln 2\approx 0{,}6931$ et $f(x)=3\times 2^x$ : la valeur double à chaque unité de temps. Vérification : $f(2)=3\times 4=12$ .

Exercice 7 Équation avec un coefficient devant y'

★★★Environ 10 min

On considère l'équation $(G) : 5y' = -3y$ et la solution $v$ de $(G)$ vérifiant $v(0)=20$ .

Écris $(G)$ sous la forme $y'=ay$ avec $a$ fractionnaire.
Détermine $v(x)$ .
Calcule $v(5)$ ; donne une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
Explique, sans calcul, pourquoi $v(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Indice 1

Divise les deux membres par $5$ , qui n'est pas nul.

Indice 2

Pour $v(5)$ , regarde ce que devient l'exposant : il se simplifie.

Indice 3

Pour la limite, rappelle-toi le comportement de $e^{kx}$ quand $k<0$ .

Voir la correction pas à pas

On divise par 5 : $y' = -\dfrac35\,y$ , donc $a=-\dfrac35$ .
Les solutions sont $Ce^{-\frac35 x}$ ; $v(0)=C=20$ , donc $v(x)=20e^{-\frac35 x}$ .
$v(5)=20e^{-\frac35\times 5}=20e^{-3}\approx 20\times 0{,}049787\approx 0{,}9957$ .
Comme $-\frac35<0$ , l'exposant $-\frac35x$ tend vers $-\infty$ quand $x\to+\infty$ , donc $e^{-\frac35 x}$ tend vers $0$ et $v(x)$ aussi.

On a $v(x)=20e^{-\frac35 x}$ et $v(5)=20e^{-3}\approx 0{,}9957$ . Dès que $a<0$ , toute solution tend vers $0$ en $+\infty$ .

Exercice 8 Il n'y a pas d'autres solutions

★★★Environ 15 min

Soit $a$ un réel et $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x$ , $f'(x)=af(x)$ . On pose $h(x)=f(x)\,e^{-ax}$ .

Calcule $h'(x)$ et montre que $h'(x)=0$ pour tout réel $x$ .
Que peut-on en déduire pour $h$ ?
Conclus que $f$ est de la forme $x\mapsto Ce^{ax}$ .

Indice 1

Dérive un produit : $(uv)'=u'v+uv'$ , avec $v(x)=e^{-ax}$ dont la dérivée est $-ae^{-ax}$ .

Indice 2

Une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante.

Voir la correction pas à pas

On pose $u=f$ et $v(x)=e^{-ax}$ ; alors $v'(x)=-ae^{-ax}$ .
$h'(x)=f'(x)e^{-ax}+f(x)\times(-a)e^{-ax}=\left(f'(x)-af(x)\right)e^{-ax}$ .
Comme $f'(x)=af(x)$ , le facteur entre parenthèses est nul, donc $h'(x)=0$ pour tout $x$ .
La fonction $h$ est dérivable sur l'intervalle $\mathbb{R}$ avec une dérivée nulle : elle est constante, égale à un réel $C$ .
Ainsi $f(x)e^{-ax}=C$ . En multipliant par $e^{ax}$ , qui n'est jamais nul, on obtient $f(x)=Ce^{ax}$ .

Toute solution de $y'=ay$ s'écrit $Ce^{ax}$ : il n'y en a pas d'autres. Cette preuve explique aussi pourquoi une condition initiale suffit à choisir une seule solution : la constante $C$ est alors imposée.

Exercice 9 Quantité qui diminue : quand passe-t-elle sous un seuil ?

★★★Environ 15 min

Une substance se dégrade. On modélise sa quantité $Q(t)$ , en grammes, à l'instant $t$ (en heures), par la solution de $Q'=-0{,}2\,Q$ avec $Q(0)=80$ .

Détermine $Q(t)$ .
Quelle quantité reste-t-il au bout de $5$ heures ? Donne une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
À partir de quel instant la quantité devient-elle inférieure à $10$ grammes ? Donne la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

Indice 1

Ici $a=-0{,}2$ et la valeur initiale est $80$ .

Indice 2

Pour la question 3, résous d'abord l'égalité $Q(t)=10$ , puis étudie le sens de variation pour passer à l'inégalité.

Indice 3

Tu auras $e^{-0{,}2t}=\tfrac18$ ; n'oublie pas que $\ln\left(\tfrac18\right)=-\ln 8$ .

Voir la correction pas à pas

Les solutions sont $Ce^{-0{,}2t}$ ; $Q(0)=C=80$ , donc $Q(t)=80e^{-0{,}2t}$ .
$Q(5)=80e^{-1}\approx 80\times 0{,}36788\approx 29{,}43$ grammes.
$Q(t)=10 \iff e^{-0{,}2t}=\dfrac{10}{80}=\dfrac18 \iff -0{,}2t=-\ln 8 \iff t=\dfrac{\ln 8}{0{,}2}=5\ln 8$ .
Valeur approchée : $t\approx 5\times 2{,}0794\approx 10{,}40$ heures.
Comme $Q'(t)=-0{,}2\,Q(t)<0$ , la fonction $Q$ est strictement décroissante : $Q(t)<10$ si et seulement si $t>5\ln 8$ .

Il reste environ $29{,}43$ g après 5 heures, et la quantité passe sous les $10$ g au bout de $5\ln 8\approx 10{,}40$ heures. Retiens la démarche : égalité, puis monotonie pour conclure sur l'inégalité.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une équation se ramène à y' = ay ?

Isole $y'$ d'un côté de l'égalité. Si l'autre côté est un multiple de $y$ seul, sans terme indépendant de $y$ , c'est le cas : $y'+4y=0$ donne $y'=-4y$ et $5y'=-3y$ donne $y'=-\frac35y$ . S'il reste un terme supplémentaire (par exemple une constante ou une fonction de $x$ ), l'équation a un second membre non nul et ne relève plus de ce cas simple ³.

Pourquoi y a-t-il une constante C, et comment la déterminer ?

L'équation $y'=ay$ a une infinité de solutions, toutes de la forme $Ce^{ax}$ : la constante $C$ distingue une solution des autres, comme on le démontre à l'exercice « Il n'y a pas d'autres solutions ». Pour la fixer, on utilise une condition initiale $y(x_0)=y_0$ : on remplace $x$ par $x_0$ et on résout $Ce^{ax_0}=y_0$ , ce qui donne $C=y_0e^{-ax_0}$ .

Comment résoudre une équation du type C e^{ax} = k avec un logarithme ?

Isole d'abord l'exponentielle : $e^{ax}=\dfrac{k}{C}$ . Cette égalité n'a de solution que si $\dfrac kC>0$ , car une exponentielle est toujours strictement positive. Applique ensuite $\ln$ : $ax=\ln\left(\dfrac kC\right)$ , puis divise par $a$ (supposé non nul). Pour une inégalité, étudie le sens de variation : si la solution est décroissante, l'inégalité se retourne.

Sources

Introduction aux équations différentielles, Éduscol - Édubase. Consulté le 6 novembre 2026.
Mathématiques complémentaires - Ressources pédagogiques, Académie de Montpellier. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation différentielle linéaire d'ordre un, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équations de Navier-Stokes, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Une valeur après une unité de temps

Exercice 2 Une décroissance exponentielle

Exercice 3 Retrouver le coefficient a

Exercice 4 Condition initiale en un point autre que 0

Exercice 5 Équation à remettre en forme et instant atteint

Exercice 6 Déterminer a à partir de deux valeurs

Exercice 7 Équation avec un coefficient devant y'

Exercice 8 Il n'y a pas d'autres solutions

Exercice 9 Quantité qui diminue : quand passe-t-elle sous un seuil ?

Les questions qu'on se pose

Sources

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