Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
L'équation y′=ay (avec a réel) est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1 : l'inconnue est une fonction y dérivable.
Ses solutions sont exactement les fonctions x↦Ceax, où C est une constante réelle quelconque.
Une condition initiale y(x0)=y0 fixe la constante : C=y0e−ax0, et la solution est alors unique.
Pour vérifier une solution : on dérive, on compare f′(x) et af(x), puis on contrôle la condition initiale.
L'essentiel à retenir
Une équation différentielle a pour inconnue une fonction, et elle relie cette fonction à ses dérivées. Dans cette fiche, on cherche toutes les fonctions f dérivables sur R qui vérifient f′(x)=af(x) pour tout réel x, où a est un nombre réel donné.
Démonstration · Pourquoi il n'y en a pas d'autres
Elles conviennent. Si f(x)=Ceax, alors f′(x)=C×aeax=af(x).
Ce sont les seules. Soit f une solution. On pose g(x)=f(x)e−ax. Alors
g′(x)=f′(x)e−ax−af(x)e−ax=(f′(x)−af(x))e−ax=0.
La dérivée de g est nulle sur R, donc g est constante, égale à un réel C. Ainsi f(x)=Ceax.
Trouver la solution qui vérifie une condition initiale
Lire le signe de $a$ et vérifier un résultat
Les pièges à éviter
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La forme générale est Ceax avec a=3, donc Ce3x. La réponse « e3x uniquement » oublie la constante C : il y a une infinité de solutions. La fonction Cex/3 a pour dérivée 3Cex/3, qui n'est pas 3 fois la fonction.
Avec f(x)=Ce−2x et f(0)=C=4, on obtient 4e−2x. La fonction 4e2x a le bon point de départ mais un mauvais signe dans l'exposant. La fonction e−2x+3 vérifie f(0)=4, mais sa dérivée −2e−2x n'est pas égale à −2f(x).
La solution est f(x)=5e2x, donc f(1)=5e2≈5×7,389≈36,95. Calculer 5×2=10 serait confondre l'exposant avec un facteur multiplicatif.
Elle correspond à C=0 dans Ceax. On vérifie directement : sa dérivée est 0 et a×0=0. Penser qu'une solution doit être strictement positive est une erreur fréquente, due à l'habitude de voir eax>0.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi une condition initiale est-elle nécessaire ?
Sans elle, l'équation y′=ay a une infinité de solutions Ceax, une pour chaque valeur de C. Une condition y(x0)=y0 impose la valeur de la fonction en un point, ce qui détermine C et laisse une seule solution.
Comment savoir si une équation se ramène à $y' = ay$ ?
Il faut que l'équation s'écrive y′=ay avec un second membre nul et un coefficient a constant. Une équation comme y′−4y=0 s'y ramène en écrivant y′=4y. En revanche, y′=4y+1 a un second membre non nul : ce n'est plus le même type d'équation 3.
Peut-on trouver une solution qui s'annule sans être la fonction nulle ?
Non. Comme eax ne s'annule jamais, Ceax=0 n'est possible que si C=0. Une solution non nulle ne s'annule donc en aucun point et garde un signe constant.