Modèles d'évolution : quiz de Terminale (maths complémentaires)

Quiz

16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

1. Une population $N(t)$ vérifie $N'(t) = kN(t)$ avec $N(0) = N_0$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?

   $N(t) = N_0 e^{kt}$$N(t) = N_0 + kt$$N(t) = k e^{N_0 t}$$N(t) = N_0 e^{t/k}$
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2. Une culture compte $500$ bactéries à l'instant $t=0$ et suit le modèle $N'(t) = 0{,}2\,N(t)$ ($t$ en heures). Combien de bactéries y a-t-il à $t = 5$ h ? (arrondis à l'unité)

   Ta réponse bactéries
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3. Pour $y' = ky$ avec $k<0$ et $y(0) > 0$, la quantité $y(t)$ diminue au cours du temps.

   VraiFaux
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4. Une quantité suit $y' = 0{,}1\,y$ avec $y(0)>0$. Au bout de combien de temps double-t-elle ? (arrondis au centième)

   Ta réponse unités de temps
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5. Dans le problème d'IREM sur les bactéries, pourquoi un premier modèle exponentiel ne convient-il pas pour une longue durée ?

   Parce qu'une population de bactéries ne peut pas augmenter sans fin à un rythme exponentielParce que l'équation $y' = ky$ n'a pas de solutionParce que le nombre de bactéries doit forcément décroîtreParce que $k$ devient négatif dès la première heure
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6. On considère $y' = -0{,}5\,y + 2$. Vers quelle valeur la solution tend-elle quand $t \to +\infty$ ?

   Ta réponse
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7. Pour $a \neq 0$, quelle est la forme générale des solutions de $y' = ay + b$ ?

   $y(t) = Ce^{at} - \dfrac{b}{a}$$y(t) = Ce^{at} + b$$y(t) = Ce^{at} + \dfrac{b}{a}$$y(t) = C e^{bt} - \dfrac{a}{b}$
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8. Une quantité vérifie $y' = 0{,}3\,y$ et $y(0) = 100$. Que vaut $y(2)$ ? (arrondis au centième)

   Ta réponse
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9. Dans le modèle $y' = ky$, le rapport $\dfrac{y(t+h)}{y(t)}$ ne dépend pas de la valeur initiale $y(0)$.

   VraiFaux
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10. Une substance radioactive suit $y' = -0{,}02\,y$ (temps en années). Quelle est sa demi-vie, c'est-à-dire le temps pour que la quantité soit divisée par $2$ ? (arrondis au centième)

    Ta réponse années
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11. Quelles fonctions sont solutions de l'équation $y' = 3y$ ?

    Plusieurs réponses possibles.

    $y(t) = 2e^{3t}$$y(t) = e^{3t} + 1$$y(t) = -e^{3t}$$y(t) = 3e^{t}$
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12. Une population augmente de $5\,\%$ à chaque unité de temps. On la modélise par $y(t) = y_0e^{kt}$ pour que $y(1) = 1{,}05\,y_0$. Quelle valeur de $k$ faut-il prendre ? (arrondis à $10^{-4}$)

    Ta réponse
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13. Dans un des TP d'IREM, à propos de Verhulst (1804-1849), quel domaine d'étude est évoqué ?

    L'évolution de populations animalesLa résolution de systèmes linéairesLa géométrie des solidesLes séries trigonométriques
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14. La fonction constante $y(t) = -\dfrac{b}{a}$ (avec $a \neq 0$) est une solution de $y' = ay + b$.

    VraiFaux
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15. Avec $y' = -0{,}5\,y + 2$ et $y(0) = 1$, que vaut $y(2)$ ? (arrondis au centième)

    Ta réponse
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16. Dans le problème d'IREM sur les bactéries, pour quels instants le premier modèle est-il prévu ?

    Les instants qui suivent l'ensemencementUne très longue période, après stabilisation de la cultureUniquement l'instant initialLes instants où la culture disparaît
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