Modèles d'évolution : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un modèle d'évolution décrit une population (bactéries, poissons…) par une fonction du temps qui vérifie une équation différentielle.
Si la vitesse de variation est proportionnelle à la population, y′=ky et y(t)=y0ekt : croissance exponentielle si k>0, décroissance si k<0.
Une croissance exponentielle ne peut pas durer indéfiniment : sur longue période, on utilise un second modèle, avec limitation.
Avec y′=ay+b (a=0), les solutions sont y(t)=Ceat−ab ; si a<0, la population se stabilise en −ab.
Toujours : poser la fonction, écrire l'équation, résoudre, déterminer la constante avec la condition initiale, interpréter.
Pourquoi modéliser une population
Prévoir l'évolution d'une population de bactéries, de poissons ou d'animaux est un problème classique. P.F. Verhulst (1804-1849) a par exemple étudié l'évolution de populations animales 1. Pour y parvenir, on remplace la réalité par un modèle : une fonction du temps qui obéit à une équation différentielle.
Dans un exercice de lycée, on distingue souvent deux modèles successifs : un premier pour les instants qui suivent l'ensemencement d'une culture de bactéries, un second pour une longue période 2. On note alors F(t) le nombre de bactéries à l'instant t dans le premier modèle 2.
Premier modèle : croissance exponentielle
Second modèle : croissance limitée
Une culture de bactéries ne peut pas augmenter sans fin à un rythme exponentiel : le premier modèle ne convient donc pas pour une longue durée 2. On en construit un second, qui intègre cette limitation 2. Dans ce second modèle, la population g(t) s'exprime en millions de bactéries 2.
Pièges fréquents
Questions flash
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La solution est N(t)=1000e0,1t, donc N(10)=1000e≈2718. Écrire 1000×0,1×10=1000 ou 1000+1000 serait une croissance linéaire, qui ne correspond pas à l'équation.
La constante −ab annule ay+b, c'est donc une solution, et on ajoute les solutions de y′=ay. L'option +ab est l'erreur de signe classique : elle donne y′=0 mais ay+b=2b=0.
Faux : N0ekt tend vers +∞ si k>0. C'est justement pour cette raison que ce modèle ne convient pas sur une longue période 2 ; la limite finie correspond au modèle y′=ay+b avec a<0.
La limite vaut −ab=−−0,52=4. Répondre −4 vient d'un oubli du signe de a ; répondre 2 revient à oublier de diviser b par a.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quel modèle utiliser dans un exercice ?
Lis l'énoncé : si la vitesse de variation est proportionnelle à la population et que la durée est courte, on prend y′=ky. Si l'énoncé parle d'une longue période ou d'une limitation, on attend plutôt une équation de la forme y′=ay+b ou un second modèle donné par l'énoncé. Dans une étude de bactéries, le premier modèle sert juste après l'ensemencement et le second pour une longue période 2.
Faut-il savoir démontrer les solutions de y' = ay + b ?
Il faut surtout savoir les utiliser. Pour te rappeler la forme, pose z=y+ab : alors z′=y′=az, donc z=Ceat, et on retrouve y=Ceat−ab.
Que faire quand l'énoncé demande d'« estimer la population » à une date donnée ?
Détermine d'abord la fonction avec la condition initiale, puis remplace t par la durée écoulée depuis l'instant initial, dans la bonne unité. Un exercice sur les populations de poissons propose ce genre d'estimation à une date donnée 1. Arrondis ensuite de façon raisonnable : une population est un nombre d'individus.