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Modèles d'évolution et équations différentielles : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Modèle exponentiel : $y' = ky$ donne $y(t) = y_0 e^{kt}$ . Il convient sur une courte durée, tant que rien ne freine la croissance.
Modèle avec limite : $y' = ay + b$ avec $a<0$ donne $y(t) = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{at} - \dfrac{b}{a}$ , qui tend vers la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ .
Modèle logistique : $y' = ry\left(1-\dfrac{y}{K}\right)$ donne $y(t) = \dfrac{K}{1+\left(\frac{K}{y_0}-1\right)e^{-rt}}$ ; la population tend vers la capacité $K$ .
Astuce de résolution : en posant $z = \dfrac{1}{y}$ , l'équation logistique devient une équation du type $z' = az + b$ .
Réflexe : identifier le type d'équation, résoudre, utiliser la condition initiale pour trouver la constante, puis interpréter (limite, variations, temps pour atteindre une valeur).

Pourquoi modéliser l'évolution d'une population ?

Combien y aura-t-il de bactéries dans une culture dans trois heures ? Quand une population de poissons atteindra-t-elle un seuil donné ? Pour répondre, on ne peut pas se contenter de mesures isolées : on cherche une fonction $y$ du temps $t$ qui décrit l'effectif, et on observe que la vitesse de variation de cet effectif dépend de l'effectif lui-même. Plus il y a d'individus, plus il y a de naissances ; mais s'il y en a trop, la nourriture ou la place manquent.

Cette dépendance s'écrit naturellement avec la dérivée : $y'(t)$ est la vitesse d'évolution de la population à l'instant $t$ , et on la relie à $y(t)$ . On obtient une équation différentielle, dont les solutions sont des fonctions.

Cette démarche a une longue histoire : le mathématicien P.F. Verhulst, qui a vécu de 1804 à 1849, s'est intéressé à la façon dont les effectifs d'animaux changent au cours du temps ¹. Un problème classique propose de comparer deux modèles pour une culture de bactéries : l'un décrit le tout début, juste après l'ensemencement, l'autre est censé rester valable sur une longue durée ². C'est exactement le fil de ce cours : on part d'un modèle simple, on voit où il échoue, puis on le corrige.

Rappels : résoudre y' = ay puis y' = ay + b

Démonstration · Pourquoi il n'y a pas d'autres solutions

Les fonctions $Ce^{at}$ conviennent : leur dérivée est $aCe^{at}$ , c'est-à-dire $a$ fois la fonction.

Réciproquement, soit $y$ une solution. On pose $h(t) = y(t)e^{-at}$ . Alors

$h'(t) = y'(t)e^{-at} - a\,y(t)e^{-at} = \big(y'(t) - a\,y(t)\big)e^{-at} = 0.$

La fonction $h$ a une dérivée nulle sur un intervalle : elle est constante, égale à un réel $C$ . Donc $y(t) = Ce^{at}$ .

Démonstration · Ramener y' = ay + b à y' = ay

Posons $c = -\dfrac{b}{a}$ et $u = y - c$ . Comme $c$ est constant, $u' = y'$ . Or

$y' = ay + b = a(y - c) + ac + b = a\,u + (ac + b) = a\,u,$

car $ac = -b$ . Donc $u' = au$ , d'où $u(t) = Ce^{at}$ et $y(t) = Ce^{at} + c = Ce^{at} - \dfrac{b}{a}$ .

Le modèle exponentiel

Pourquoi une telle hypothèse est-elle raisonnable au départ ? Au début d'une culture, les bactéries ont de la place et des ressources en abondance. Chacune se divise à un rythme comparable : le nombre de nouvelles bactéries par unité de temps est proportionnel au nombre de bactéries présentes. C'est ce que traduit $y' = ky$ . C'est cohérent avec l'idée d'un premier modèle valable juste après l'ensemencement ².

Les limites du modèle exponentiel : un premier modèle avec limite

Le modèle exponentiel mène à une absurdité sur la durée : avec $k>0$ , l'effectif dépasse n'importe quelle valeur. Or l'effectif d'une culture ne saurait augmenter sans fin selon une loi exponentielle : le premier modèle ne convient donc pas pour une longue période ². Il faut un modèle où la croissance ralentit quand l'effectif devient grand.

La façon la plus simple d'introduire un freinage est d'ajouter un terme constant à l'équation précédente :

$y' = ay + b \quad \text{avec } a<0 \text{ et } b>0.$

La vitesse d'évolution est positive tant que $ay + b>0$ , c'est-à-dire tant que $y < -\dfrac{b}{a}$ . Elle s'annule exactement à l'équilibre. On pose $L = -\dfrac{b}{a}>0$ : c'est la valeur vers laquelle $y$ va tendre.

Le modèle logistique

Lis l'équation comme un modèle exponentiel dont le taux est corrigé : le taux effectif vaut $r\left(1 - \dfrac{y}{K}\right)$ .

Quand $y$ est petit devant $K$ , le facteur $1 - \dfrac{y}{K}$ est proche de $1$ et l'équation ressemble à $y' = ry$ : croissance exponentielle.
Quand $y$ s'approche de $K$ , le facteur tend vers $0$ et la croissance ralentit.
Si $y = K$ , alors $y' = 0$ : la population reste stable.
Si $y>K$ , le facteur est négatif et la population diminue vers $K$ .

C'est bien le type de modèle qu'on utilise pour une culture bactérienne sur une longue période, où la croissance ne peut pas rester exponentielle ². L'étude de l'évolution de populations par ce genre de modèle s'inscrit dans la tradition de Verhulst ¹.

Démonstration · Obtenir la formule par le changement de fonction z = 1/y

Soit $y$ une solution strictement positive. On pose $z = \dfrac{1}{y}$ , définie et dérivable. Alors $z' = -\dfrac{y'}{y^2}$ .

On remplace $y'$ :

$z' = -\frac{ry\left(1-\frac{y}{K}\right)}{y^2} = -r\cdot\frac{1}{y}\left(1-\frac{y}{K}\right) = -r\left(z - \frac{1}{K}\right) = -rz + \frac{r}{K}.$

On reconnaît une équation du type $z' = az + b$ avec $a = -r$ et $b = \dfrac{r}{K}$ . Sa solution constante est $-\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{K}$ , donc

$z(t) = Ce^{-rt} + \frac{1}{K}.$

La condition $z(0) = \dfrac{1}{y_0}$ donne $C = \dfrac{1}{y_0} - \dfrac{1}{K}$ . Ainsi

$y(t) = \frac{1}{z(t)} = \frac{1}{\left(\frac{1}{y_0} - \frac{1}{K}\right)e^{-rt} + \frac{1}{K}}.$

En multipliant numérateur et dénominateur par $K$ :

$y(t) = \frac{K}{\left(\frac{K}{y_0} - 1\right)e^{-rt} + 1}.$

Croissance exponentielle et croissance logistique · Même départ, mais la logistique est freinée par la capacité d'accueil K = 100.

Étudier un modèle logistique

Méthode complète pour un problème de modèle

IdentifierRepérer le type d'équation
RésoudreÉcrire la forme générale
Condition initialeCalculer la constante
InterpréterLimite, variations, équilibre
RépondreValeur ou instant demandé

Méthode de résolution

ExempleUn problème rédigé

Un étang peut accueillir au plus $200$ poissons. On suppose que l'effectif, en dizaines de jours, suit $y' = 0{,}3\,y\left(1-\dfrac{y}{200}\right)$ avec $y(0) = 20$ .

Type : équation logistique avec $r = 0{,}3$ et $K = 200$ .

Solution : $A = \dfrac{200}{20} - 1 = 9$ et $y(t) = \dfrac{200}{1+9e^{-0{,}3t}}$ .

Interprétation : la population croît et tend vers $200$ . Sa croissance est la plus rapide quand $y = 100$ .

Question : à quel instant l'effectif atteint-il $100$ ? On résout $9e^{-0{,}3t} = 1$ , d'où $t = \dfrac{\ln 9}{0{,}3} \approx 7{,}32$ dizaines de jours, soit un peu plus de $73$ jours.

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Exercice 1 Une culture en phase de départ

★☆☆Environ 8 min

Une culture compte $500$ bactéries à $t=0$ (en heures). On modélise son effectif par $y' = 0{,}04\,y$ .

Donne l'expression de $y(t)$ .
Calcule l'effectif au bout de $10$ heures, arrondi à l'unité.

Indice 1

Reconnais l'équation $y'=ky$ et utilise la condition initiale.

Indice 2

Remplace $t$ par $10$ puis utilise la calculatrice.

Voir la correction pas à pas

On reconnaît le modèle exponentiel $y' = ky$ avec $k = 0{,}04$ .
Sa solution est $y(t) = y_0e^{kt}$ avec $y_0 = 500$ , donc $y(t) = 500\,e^{0{,}04t}$ .
On calcule $y(10) = 500\,e^{0{,}4}$ .
Avec $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$ , on obtient $y(10) \approx 745{,}9$ , soit environ $746$ bactéries.

Au bout de $10$ heures, l'effectif est d'environ $746$ bactéries.

Exercice 2 Un modèle qui se stabilise

★★☆Environ 12 min

On considère $y' = -0{,}5\,y + 20$ avec $y(0)=10$ .

Détermine la valeur d'équilibre $L$ .
Détermine la solution $y(t)$ .
Calcule $y(2)$ à $0{,}01$ près.

Indice 1

La solution constante de $y'=ay+b$ est $-\dfrac{b}{a}$ .

Indice 2

Utilise $y(t) = (y_0 - L)e^{at} + L$ .

Voir la correction pas à pas

On a $a=-0{,}5$ et $b=20$ , donc $L = -\dfrac{20}{-0{,}5} = 40$ .
On vérifie : $-0{,}5\times 40 + 20 = 0$ .
La solution est $y(t) = (10-40)e^{-0{,}5t}+40 = 40-30e^{-0{,}5t}$ .
On calcule $y(2) = 40-30e^{-1}$ , avec $e^{-1}\approx 0{,}3679$ , d'où $y(2)\approx 28{,}96$ .

La population se rapproche de $40$ sans l'atteindre ; au bout de $2$ unités de temps, elle vaut environ $28{,}96$ .

Exercice 3 Quand une population atteint la moitié de sa capacité

★★★Environ 15 min

Une population suit l'équation logistique $y' = 0{,}2\,y\left(1-\dfrac{y}{50}\right)$ avec $y(0)=5$ .

Calcule $A = \dfrac{K}{y_0}-1$ et écris $y(t)$ .
Détermine l'instant $t$ où $y(t)=25$ , arrondi au centième.
Que représente cet instant pour la vitesse de croissance ?

Indice 1

Pour $y(t)=25$ , isole $e^{-0{,}2t}$ .

Indice 2

Utilise le logarithme népérien pour résoudre $e^{-0{,}2t}=\dfrac{1}{9}$ .

Voir la correction pas à pas

On a $K=50$ , $y_0=5$ , donc $A = \dfrac{50}{5}-1 = 9$ et $y(t) = \dfrac{50}{1+9e^{-0{,}2t}}$ .
On résout $\dfrac{50}{1+9e^{-0{,}2t}} = 25$ , ce qui donne $1+9e^{-0{,}2t}=2$ , donc $e^{-0{,}2t}=\dfrac{1}{9}$ .
On applique $\ln$ : $-0{,}2t = -\ln 9$ , donc $t = \dfrac{\ln 9}{0{,}2}\approx 10{,}99$ .
Comme $25=\dfrac{K}{2}$ , c'est l'instant où la vitesse $y'$ est maximale, avec $y'=\dfrac{rK}{4}=2{,}5$ .

La population atteint $25$ à $t\approx 10{,}99$ ; à cet instant, elle croît le plus vite, à la vitesse $2{,}5$ .

Exercice 4 Temps de doublement

★★☆Environ 8 min

Une population suit le modèle exponentiel $y'=0{,}03\,y$ (le temps est en années). Calcule son temps de doublement, arrondi au dixième, et explique pourquoi il ne dépend pas de l'effectif de départ.

Indice 1

Résous $y_0e^{0{,}03T}=2y_0$ .

Indice 2

Simplifie par $y_0$ avant d'appliquer $\ln$ .

Voir la correction pas à pas

La solution est $y(t)=y_0e^{0{,}03t}$ .
On cherche $T$ tel que $y_0e^{0{,}03T}=2y_0$ . En simplifiant par $y_0>0$ , on obtient $e^{0{,}03T}=2$ .
On applique $\ln$ : $0{,}03T=\ln 2$ , donc $T=\dfrac{\ln 2}{0{,}03}\approx 23{,}1$ .
Le facteur $y_0$ disparaît dès la simplification : le doublement ne dépend pas de l'effectif de départ.

La population double en environ $23{,}1$ années, quel que soit son effectif initial.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel modèle utiliser dans un exercice ?

Lis la relation entre $y'$ et $y$ . Si $y'$ est proportionnelle à $y$ , c'est le modèle exponentiel. Si $y'=ay+b$ , c'est le modèle avec limite. Si l'énoncé mentionne une capacité d'accueil et un produit $y\left(1-\dfrac{y}{K}\right)$ , c'est le modèle logistique.

Pourquoi passer du modèle exponentiel au modèle logistique ?

Parce qu'une population ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle : le premier modèle ne s'applique pas sur une longue période ². Le modèle logistique garde une croissance exponentielle au départ, puis impose un ralentissement jusqu'à la capacité $K$ .

Que faire si $y_0 > K$ dans l'équation logistique ?

La formule $y(t)=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}$ reste valable avec $A=\dfrac{K}{y_0}-1$ , qui est alors négatif mais supérieur à $-1$ . La population décroît vers $K$ par valeurs supérieures. Le facteur $1-\dfrac{y}{K}$ est négatif, ce qui explique la décroissance.

Pourquoi la population n'atteint-elle jamais exactement $K$ ?

Parce que le dénominateur $1+Ae^{-rt}$ reste strictement supérieur à $1$ quand $A>0$ , puisque $e^{-rt}>0$ pour tout $t$ . Donc $y(t)<K$ tout le temps, même si l'écart devient aussi petit qu'on veut.

Que demande-t-on souvent à l'examen sur ce chapitre ?

On te demande en général d'identifier l'équation, de la résoudre avec une condition initiale, de calculer une valeur ou un instant (avec le logarithme), de déterminer une limite et d'interpréter le résultat dans le contexte : « la population se stabilise autour de... ».

Sources

BE dynamique populations TP 2 - Modèles d'évolution de populations et équations différentielles, IREM Limousin. Consulté le 6 novembre 2026.
Équations différentielles - Ressources IREM Grenoble, IREM Grenoble-Alpes. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorie synthétique de l'évolution, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi modéliser l'évolution d'une population ?

Rappels : résoudre y' = ay puis y' = ay + b

Le modèle exponentiel

Les limites du modèle exponentiel : un premier modèle avec limite

Le modèle logistique

Étudier un modèle logistique

Méthode complète pour un problème de modèle

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Exercice 2 Un modèle qui se stabilise

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