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Fonction exponentielle et modèles : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction exponentielle est la fonction $\exp$ égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 ; on note $e^x=\exp(x)$ et $e\approx 2{,}71828$ .
Elle transforme une somme en produit : $e^{a+b}=e^a\times e^b$ , d'où $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$ et $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$ .
Elle est strictement positive, strictement croissante et convexe sur $\mathbb{R}$ ; sa courbe passe par $(0\,;\,1)$ et reste au-dessus de la tangente $y=x+1$ .
Pour $u$ dérivable, $(e^{u})'=u'\,e^{u}$ ; en particulier $(e^{ax+b})'=a\,e^{ax+b}$ .
$e^a=e^b$ équivaut à $a=b$ , et $e^a<e^b$ équivaut à $a<b$ ; la fonction sert à modéliser les évolutions où un même pas sur la variable multiplie toujours les valeurs par le même facteur.

Pourquoi une nouvelle fonction ?

Beaucoup de phénomènes évoluent d'une façon que ni une fonction affine ni une fonction polynôme ne décrivent bien. Un capital placé à intérêts composés, une population de bactéries dans un milieu riche, la quantité d'une substance qui se désintègre : dans chaque cas, la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. Plus il y en a, plus ça varie vite.

La fonction exponentielle est faite pour ces situations. Elle décrit les phénomènes où avancer d'un même pas sur l'axe des abscisses revient à multiplier les images par un même facteur ³. Autrement dit, on multiplie toujours la valeur par le même nombre, quel que soit l'endroit où l'on part. Dans ce cours, tu vas la définir, démontrer ses propriétés avec ce que tu sais de la dérivation et de la convexité, puis l'utiliser pour résoudre des équations et traiter des modèles.

Définition de la fonction exponentielle

Il existe plusieurs façons d'entrer dans le sujet : partir de la propriété de la dérivée, comme ici, partir de la propriété algébrique qui transforme une somme en produit, ou passer par un développement en série ³. En Terminale, on choisit la première, qui s'appuie directement sur ce que tu connais de la dérivation.

Relation fonctionnelle et règles de calcul

Démonstration · Preuve de la relation fonctionnelle

Fixons deux réels $a$ et $b$ et considérons, pour tout réel $x$ , la fonction

$h(x)=e^{a+b-x}\times e^{x}.$

Elle est dérivable comme produit de fonctions dérivables. En dérivant (la dérivée de $x\mapsto e^{a+b-x}$ est $-e^{a+b-x}$ par composition) :

$h'(x)=-e^{a+b-x}\,e^{x}+e^{a+b-x}\,e^{x}=0.$

La dérivée est nulle sur $\mathbb{R}$ , donc $h$ est constante. Sa valeur est $h(0)=e^{a+b}\times e^{0}=e^{a+b}$ . Pour tout $x$ , on a donc $e^{a+b-x}\,e^{x}=e^{a+b}$ . Avec $x=b$ : $e^{a}\,e^{b}=e^{a+b}$ . $\square$

Démonstration · Preuve de l'inverse et du quotient

Appliquons la relation fonctionnelle à $a$ et $-a$ : $e^{a}\times e^{-a}=e^{a+(-a)}=e^{0}=1$ . Le produit vaut 1, donc ni $e^{a}$ ni $e^{-a}$ ne vaut 0, et $e^{-a}=\frac{1}{e^{a}}$ .

Pour le quotient, $e^{a-b}=e^{a+(-b)}=e^{a}\times e^{-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}$ . $\square$

Signe, variations et convexité

Démonstration · Preuve de la positivité

On a vu que $e^{x}\,e^{-x}=1$ , donc $e^{x}$ ne s'annule jamais. Or $e^{x}=e^{x/2+x/2}=\left(e^{x/2}\right)^{2}$ est un carré, donc positif ou nul. Un carré non nul est strictement positif : $e^{x}>0$ . $\square$

Comportement aux bornes et courbe

Démonstration · Justification des limites

D'après l'inégalité $e^{x}\geq x+1$ , et puisque $x+1$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , la comparaison donne $\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$ .

Pour $-\infty$ , on écrit $e^{x}=\dfrac{1}{e^{-x}}$ . Quand $x\to-\infty$ , $-x\to+\infty$ , donc $e^{-x}\to+\infty$ et son inverse tend vers 0. $\square$

La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est donc asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ . Voici la courbe, avec sa tangente en 0.

La courbe de la fonction exponentielle et sa tangente en 0 · La courbe est au-dessus de sa tangente en 0, ce qui traduit la convexité.

Quelques valeurs approchées te donnent le profil de la croissance.

Quelques valeurs de la fonction exponentielle
x	-2	-1	0	1	2
e^x (arrondi)	0,135	0,368	1	2,718	7,389

Quelques valeurs de la fonction exponentielle · Valeurs arrondies : chaque pas de 1 sur x multiplie par e.

Dériver avec l'exponentielle

Équations et inéquations

Modéliser une évolution

Le programme de la classe fait vivre cette fonction dans des modèles issus de contextes géométriques, physiques, biologiques ou économiques ¹. Le point commun des situations qui s'y prêtent : une quantité dont le taux de variation est proportionnel à la quantité elle-même.

Récapitulatif et méthode de révision

ReconnaîtreRepérer e^u et identifier u, ainsi que u'.
DériverAppliquer (e^u)' = u' e^u.
SignerUtiliser e^x > 0 : le signe vient du reste.
ConclureTableau de variations ou solutions, puis une phrase.

Résoudre un problème avec l'exponentielle

Pour réviser, refais sans notes la démonstration de la relation fonctionnelle, puis résous plusieurs équations de chaque type. C'est ce qui sert le plus quand un énoncé t'oblige à passer du texte à une équation.

Exercices corrigés

Exercice 1 Dériver et trouver le coefficient directeur d'une tangente

★☆☆Environ 8 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5\,e^{2x}-3x$ .

Calcule $f'(x)$ .
Détermine le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

Indice 1

La dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$ : n'oublie pas le facteur $u'$ .

Indice 2

Le coefficient directeur de la tangente en 0 est $f'(0)$ , avec $e^{0}=1$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive terme à terme : $(5e^{2x})'=5\times 2e^{2x}=10e^{2x}$ et $(-3x)'=-3$ .
On obtient $f'(x)=10e^{2x}-3$ .
Le coefficient directeur de la tangente en 0 est $f'(0)=10e^{0}-3$ .
Comme $e^{0}=1$ , on trouve $f'(0)=10-3=7$ .

La tangente en 0 a pour coefficient directeur 7. Réflexe à garder : quand l'exposant n'est pas $x$ , la dérivée de l'exposant apparaît en facteur.

Exercice 2 Valeur d'un modèle de croissance

★★☆Environ 10 min

Le nombre de visiteurs quotidiens d'un site est modélisé par $V(t)=200\,e^{0{,}03t}$ , où $t$ est le nombre de jours écoulés depuis le lancement.

Quel est le nombre de visiteurs au lancement ?
Calcule le nombre de visiteurs au bout de 10 jours (arrondi à l'unité).
Par quel nombre le nombre de visiteurs est-il multiplié sur n'importe quelle période de 10 jours ?

Indice 1

Au lancement, $t=0$ .

Indice 2

Sur 10 jours, le rapport $V(t+10)/V(t)$ ne dépend pas de $t$ : utilise $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ .

Voir la correction pas à pas

Au lancement, $V(0)=200\,e^{0}=200$ visiteurs.
Pour $t=10$ : $V(10)=200\,e^{0{,}03\times 10}=200\,e^{0{,}3}$ .
À la calculatrice, $e^{0{,}3}\approx 1{,}34986$ , donc $V(10)\approx 269{,}97$ , soit environ 270 visiteurs.
Pour le rapport : $\dfrac{V(t+10)}{V(t)}=\dfrac{200\,e^{0{,}03t+0{,}3}}{200\,e^{0{,}03t}}=e^{0{,}3}$ .

Le site compte 200 visiteurs au lancement et environ 270 au bout de 10 jours. Sur toute période de 10 jours, le nombre est multiplié par $e^{0{,}3}\approx 1{,}35$ , quel que soit le moment de départ.

Exercice 3 Résoudre une équation exponentielle

★★★Environ 12 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=e^{3x-4}$ .
Résous l'inéquation $e^{x}\leq e^{3x-4}$ .
Explique pourquoi l'équation $e^{x}=-e^{3x-4}$ n'a pas de solution.

Indice 1

Utilise l'équivalence $e^{a}=e^{b}\iff a=b$ .

Indice 2

Pour la dernière question, pense au signe de chaque membre.

Voir la correction pas à pas

Par équivalence, $e^{x}=e^{3x-4}\iff x=3x-4$ .
On résout : $x-3x=-4$ , soit $-2x=-4$ , donc $x=2$ . Vérification : $e^{2}=e^{3\times 2-4}=e^{2}$ .
Pour l'inéquation, $e^{x}\leq e^{3x-4}\iff x\leq 3x-4\iff 4\leq 2x\iff x\geq 2$ . L'ensemble des solutions est $[2\,;\,+\infty[$ .
Pour la dernière question, le membre de gauche $e^{x}$ est strictement positif et le membre de droite $-e^{3x-4}$ est strictement négatif. Un nombre positif ne peut pas être égal à un nombre négatif.

L'équation a pour unique solution $x=2$ , l'inéquation a pour solutions $[2\,;\,+\infty[$ , et la troisième équation n'a aucune solution car $e^{x}>0$ pour tout $x$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi note-t-on $e^{x}$ avec une puissance alors que $x$ n'est pas forcément entier ?

La notation $e^{x}$ prolonge les puissances entières ³. La relation $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ se comporte exactement comme les puissances pour la multiplication, ce qui rend les calculs naturels. Mais $e^{x}$ est d'abord la valeur en $x$ de la fonction exponentielle, pas un produit répété.

Quelle différence entre $e^{x}$ et $x^{2}$ ?

Dans $x^{2}$ , la variable est à la base et l'exposant est fixe ; dans $e^{x}$ , la base $e$ est fixe et la variable est dans l'exposant. Cette différence change tout : $(x^{2})'=2x$ alors que $(e^{x})'=e^{x}$ . À l'infini, l'exponentielle dépasse toute fonction polynôme, mais ce comparatif précis est étudié plus tard.

Comment savoir si un phénomène se modélise par une exponentielle ?

Cherche un facteur constant pour des pas constants : si, à chaque pas de temps identique, la quantité est multipliée par le même nombre, le modèle exponentiel convient ³. Si elle augmente d'une quantité constante, c'est un modèle affine. Vérifie aussi que la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente.

Que fait-on quand on tombe sur $e^{x}=5$ ?

Avec ce que tu as vu, on ne peut pas isoler $x$ par un calcul exact : il faut la fonction logarithme, étudiée ensuite, qui est la réciproque de l'exponentielle ³. En attendant, tu peux encadrer la solution avec des valeurs : $e^{1}\approx 2{,}72<5$ et $e^{2}\approx 7{,}39>5$ , donc la solution est entre 1 et 2.

Qu'est-ce qui tombe le plus souvent à l'examen sur ce chapitre ?

Le plus souvent : dériver une expression avec $e^{u}$ , étudier le signe de la dérivée en utilisant $e^{x}>0$ , dresser un tableau de variations, résoudre une équation ou une inéquation en comparant les exposants, et interpréter un modèle. Entraîne-toi à rédiger la justification « car $e^{x}>0$ », qui rapporte des points.

Sources

Programme visé : Mathématiques complémentaires — Fonctions, fonction exponentielle et modèles · Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale)

Mathématiques complémentaires — Fonctions, fonction exponentielle et modèles, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de mathématiques complémentaires (Académie de Guadeloupe), Académie de Guadeloupe. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction exponentielle double, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Exercice 3 Résoudre une équation exponentielle

Quiz

Les questions qu'on se pose

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