Fonction exponentielle et modèles : exercices corrigés de Terminale

On dérive terme à terme : $(3e^{x})'=3e^{x}$ car l'exponentielle a pour dérivée elle-même.³

La dérivée de $-2x$ est $-2$. Donc $f'(x)=3e^{x}-2$.

On remplace $x$ par 0 : $f'(0)=3e^{0}-2$.

L'exponentielle vaut 1 en 0, donc $e^{0}=1$ et $f'(0)=3\times 1-2=1$.³

Au numérateur, on regroupe : $e^{5}\times e^{-2}=e^{5+(-2)}=e^{3}$.³

On divise par $e^{1}$, ce qui revient à soustraire les exposants : $A=e^{3-1}=e^{2}$.

Avec $e\approx 2{,}71828$, on calcule $e^{2}\approx 7{,}389$.³

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc deux exponentielles sont égales seulement si leurs exposants le sont.

On écrit $2x+1=5$.

On isole $x$ : $2x=4$, donc $x=2$.

Vérification : pour $x=2$, l'exposant vaut $2\times 2+1=5$, on retrouve bien $e^{5}$.

L'exponentielle est croissante : $e^{A}\ge e^{B}$ équivaut à $A\ge B$.

On écrit donc $3x-1\ge x+5$.

On regroupe : $2x\ge 6$.

On divise par 2 (positif, le sens ne change pas) : $x\ge 3$.

On dérive : $g'(x)=2e^{2x}$ car $u(x)=2x$ et $u'(x)=2$.

On calcule $g(0)=e^{0}=1$ et $g'(0)=2e^{0}=2$.³

L'équation de la tangente est $y=2(x-0)+1$, soit $y=2x+1$.

Pour $x=0{,}1$ : $y=2\times 0{,}1+1=1{,}2$. Donc $g(0{,}1)\approx 1{,}2$.

Avec $u(x)=-x$ : $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$. Donc $h'(x)=-e^{-x}+1$.

On dérive encore : $h''(x)=-\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}$.

Comme $e^{-x}>0$ pour tout réel, $h''(x)>0$ : la fonction $h$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

On calcule $h(0)=e^{0}+0=1$ et $h'(0)=-1+1=0$. La tangente en 0 a pour équation $y=1$.

Une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes : pour tout $x$, $e^{-x}+x\ge 1$.

$N(0)=500\,e^{0}=500$ : au départ, la culture compte 500 bactéries.³

$N(5)=500\,e^{0{,}2\times 5}=500\,e^{1}=500\,e$.

Avec $e\approx 2{,}71828$, on obtient $N(5)\approx 1\,359{,}14$, soit environ 1 359 bactéries.³

Dérivée : $N'(t)=0{,}2\times 500\,e^{0{,}2t}=100\,e^{0{,}2t}$.

Ce produit est strictement positif pour tout $t$, donc $N$ est strictement croissante.

$Q(0)=80\,e^{0}=80$ mg : c'est la dose initiale.³

$Q(10)=80\,e^{-0{,}1\times 10}=80\,e^{-1}$.

Avec $e\approx 2{,}71828$, $e^{-1}\approx 0{,}3679$, donc $Q(10)\approx 29{,}43$ mg.³

$Q'(t)=80\times(-0{,}1)\,e^{-0{,}1t}=-8\,e^{-0{,}1t}$.

Cette dérivée est strictement négative pour tout $t$, donc $Q$ est strictement décroissante.

On pose $u(x)=x-2$ et $v(x)=e^{x}$, d'où $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^{x}$.³

$f'(x)=1\times e^{x}+(x-2)e^{x}=(1+x-2)e^{x}=(x-1)e^{x}$.

Comme $e^{x}>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x-1$ : négatif pour $x<1$, nul en $x=1$, positif pour $x>1$.

Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Le minimum est donc $f(1)=(1-2)e^{1}=-e$.

Avec $e\approx 2{,}71828$, on obtient $f(1)\approx -2{,}72$.³

Comme $e^{x+x}=e^{x}\times e^{x}$, on a $e^{2x}=X^{2}$.³

L'équation devient $X^{2}+X-2=0$.

Le discriminant vaut $1+8=9$, donc $X=\dfrac{-1-3}{2}=-2$ ou $X=\dfrac{-1+3}{2}=1$.

$X=-2$ est impossible car $e^{x}>0$ pour tout réel $x$.

Reste $e^{x}=1=e^{0}$, donc $x=0$ par comparaison des exposants.

Avec $u(t)=4t$ et $v(t)=e^{-0{,}5t}$ : $u'(t)=4$ et $v'(t)=-0{,}5\,e^{-0{,}5t}$.

$c'(t)=4e^{-0{,}5t}+4t\times(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=4e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)$.

Le facteur $4e^{-0{,}5t}$ est strictement positif, donc $c'(t)$ a le signe de $1-0{,}5t$.

$1-0{,}5t>0$ équivaut à $t<2$ : $c$ croît sur $[0\,;2]$ puis décroît sur $[2\,;+\infty[$. Le maximum est atteint à $t=2$.

$c(2)=4\times 2\times e^{-1}=8e^{-1}\approx 2{,}94$ mg/L.