Fonction exponentielle et modèles : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La fonction exponentielle, notée exp, est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0 : exp′=exp et exp(0)=1.
Elle transforme une somme en produit : exp(a+b)=exp(a)×exp(b). On note e=exp(1)≈2,71828 et exp(x)=ex.
Elle modélise les phénomènes où un écart constant sur la variable donne un rapport constant sur les valeurs : c'est la croissance exponentielle.
Piège n°1 : ea+b n'est pasea+eb. Piège n°2 : ex n'est jamais négatif ni nul.
Ce qu'il faut savoir : la définition
Les règles de calcul
Signe, sens de variation et modèles
L'exponentielle sert à décrire les phénomènes où une différence constante sur la variable entraîne un rapport constant sur les images : c'est une croissance dite « exponentielle » 3. Le programme de maths complémentaires étudie des modèles issus de contextes géométriques, physiques, biologiques et économiques 1.
Pièges fréquents
Questions flash
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L'exponentielle vérifie exp′=exp avec exp(0)=13. La valeur e est prise en 1, pas en 0, et une fonction qui vaudrait 0 en 0 avec cette dérivée serait la fonction nulle.
L'exponentielle transforme une somme en produit 3. L'erreur tentante ea+eb est fausse : avec a=b=0, on aurait 1=2.
Faux. Comme ex×e−x=e0=1, aucun des deux facteurs ne peut être nul. Et ex=(ex/2)2≥0 : la fonction est strictement positive.
On additionne les exposants : e2+(−2)=e0=1. Celui qui trouve 0 confond l'exposant (qui vaut 0) avec la valeur de e0, qui vaut 1.
Les questions qu'on se pose
Comment simplifier une expression avec plusieurs exponentielles ?
Utilise la règle qui transforme une somme en produit 3 : produit de puissances de e = on additionne les exposants, quotient = on soustrait, puissance d'une puissance = on multiplie. Une somme d'exponentielles, elle, ne se simplifie pas.
Pourquoi l'exponentielle sert-elle à modéliser des phénomènes ?
Parce qu'elle décrit les situations où chaque écart constant sur la variable multiplie la grandeur par un même facteur 3. Le programme l'applique à des contextes physiques, biologiques ou économiques 1. Dans f(t)=Cekt, le signe de k indique croissance ou décroissance.
Comment résoudre $e^{x}=e^{3}$ ou $e^{x}<e^{3}$ ?
La fonction exponentielle est strictement croissante (sa dérivée ex est positive). Donc ex=e3 équivaut à x=3, et ex<e3 équivaut à x<3 : le sens de l'inégalité est conservé.