Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Fonction logarithme népérien : cours de Terminale (maths compl.)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction ln est la réciproque de l'exponentielle : pour $x>0$ , $y=\ln x$ équivaut à $e^y=x$ ⁵.
Elle transforme un produit en somme : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , d'où $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$ ⁶.
Sa dérivée est $x\mapsto \frac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ , donc ln est strictement croissante ⁶.
Pour résoudre, on vérifie d'abord le domaine, puis on utilise l'équivalence $\ln a=\ln b\iff a=b$ (et la même chose pour $<$ ) grâce à la stricte croissance.
Pour isoler un exposant : $e^x=k\iff x=\ln k$ (avec $k>0$ ) ; pour isoler un nombre dans un logarithme : $\ln x=k\iff x=e^k$ .

Pourquoi inventer le logarithme népérien ?

Tu connais la fonction exponentielle : elle prend un exposant et rend un nombre strictement positif. Mais un problème très courant va dans l'autre sens. On sait que $e^x=5$ , et on cherche l'exposant $x$ . Un capital qui double, une population qui atteint un seuil, une quantité qui se désintègre : dans tous ces cas, l'inconnue est dans l'exposant.

On a besoin d'une fonction qui défait l'exponentielle, comme la racine carrée défait le carré sur les nombres positifs. Cette fonction s'appelle le logarithme népérien, notée $\ln$ . Le programme de mathématiques complémentaires la présente justement comme la réciproque de la fonction exponentielle ⁵.

Cette idée n'est pas récente. John Napier a développé les logarithmes au début du XVIIe siècle ⁶. Leur intérêt pour le calcul tient à une propriété : un logarithme transforme un produit en somme ⁶. Pendant trois siècles, les tables de logarithmes et la règle à calcul ont servi à calculer, jusqu'à leur remplacement par les calculatrices électroniques dans le dernier quart du XXe siècle ⁶.

Dans ce cours, tu vas construire les outils dans cet ordre : la définition, les propriétés de calcul, la dérivée et les variations, les limites et la courbe, puis la résolution d'équations et d'inéquations.

Définition du logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Elle prend toutes les valeurs de $]0\,;+\infty[$ , et chacune une seule fois. Le programme s'appuie sur ce fait général : une fonction continue strictement monotone sur un intervalle possède une réciproque ². Pour l'exponentielle, cette réciproque est le logarithme népérien ².

Observe ce que dit cette équivalence : $\ln x$ est l'exposant auquel il faut élever $e$ pour obtenir $x$ . Cette lecture est la même que pour les logarithmes de base quelconque : le logarithme de base $b$ d'un réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base $b$ pour obtenir ce nombre ⁶. Le logarithme népérien est le cas où la base est le nombre $e$ ⁶.

Les conséquences immédiates de la réciprocité

Deux fonctions réciproques s'annulent l'une l'autre quand on les enchaîne. Appliquée à $\exp$ et $\ln$ , cette idée donne deux formules à connaître par cœur.

Les propriétés algébriques : un produit devient une somme

C'est la propriété qui a rendu le logarithme célèbre : il transforme un produit en somme ⁶. Dans le programme, on parle d'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme, et l'une des capacités attendues est de l'utiliser pour transformer une expression ².

Démonstration · Preuve de ln(ab) = ln a + ln b

Posons $p=\ln a$ et $q=\ln b$ . Par définition de ln, $e^p=a$ et $e^q=b$ .

Alors $ab=e^p\times e^q=e^{p+q}$ . Le nombre $p+q$ est donc un exposant de $e$ qui donne $ab$ , ce qui signifie $\ln(ab)=p+q$ .

Comme $p+q=\ln a+\ln b$ , on obtient $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

Démonstration · Preuve des conséquences

Inverse. $a\times\frac1a=1$ , donc $\ln a+\ln\frac1a=\ln 1=0$ , d'où $\ln\frac1a=-\ln a$ .

Quotient. $\frac ab=a\times\frac1b$ , donc $\ln\frac ab=\ln a+\ln\frac1b=\ln a-\ln b$ .

Puissance. Pour $n=0$ , $a^0=1$ et $\ln1=0=0\times\ln a$ . Pour $n\ge1$ , $a^n$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; en appliquant $n-1$ fois la relation du produit, on obtient $n\ln a$ .

Racine carrée. $\sqrt a\times\sqrt a=a$ , donc $2\ln\sqrt a=\ln a$ , d'où $\ln\sqrt a=\frac12\ln a$ .

Dérivée et variations de la fonction ln

Le programme demande de calculer la dérivée du logarithme en admettant sa dérivabilité ². Cela signifie qu'on ne démontre pas que ln est dérivable : on l'admet, puis on trouve sa dérivée avec une astuce simple.

Démonstration · Calcul de la dérivée (dérivabilité admise)

Pour tout $x>0$ , on a $e^{\ln x}=x$ . On dérive les deux membres, en admettant que ln est dérivable.

Le membre de gauche est de la forme $e^{u(x)}$ avec $u(x)=\ln x$ ; sa dérivée est $u'(x)\,e^{u(x)}=\ln'(x)\times e^{\ln x}=\ln'(x)\times x$ . Le membre de droite a pour dérivée $1$ .

On obtient $x\,\ln'(x)=1$ , d'où $\ln'(x)=\dfrac1x$ puisque $x\ne0$ .

ExempleSigne de ln

Le signe de $\ln x$ se lit à partir de $\ln1=0$ et de la croissance :

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
signe de $\ln x$		$-$	$0$	$+$

Ainsi $\ln\frac12<0$ , $\ln e>0$ et $\ln(0{,}3)<0$ .

Limites et courbe représentative

Le programme prévoit l'étude des limites de la fonction logarithme népérien et de sa représentation graphique ⁴. Il cite aussi le logarithme parmi les fonctions de référence dont on connaît les limites ⁴. Voici ce que tu dois savoir.

Démonstration · Pourquoi ces limites ?

Soit $M$ un réel quelconque, aussi grand que l'on veut. Pour $x>e^{M}$ , la stricte croissance de ln donne $\ln x>\ln(e^M)=M$ . Donc $\ln x$ dépasse n'importe quelle valeur dès que $x$ est assez grand : la limite en $+\infty$ est $+\infty$ .

En $0^+$ , on utilise $\ln x=-\ln\frac1x$ . Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\frac1x$ tend vers $+\infty$ , donc $\ln\frac1x$ tend vers $+\infty$ et $\ln x$ tend vers $-\infty$ .

Les courbes de exp, de ln et la droite y = x · Les courbes de exp et de ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Résoudre équations et inéquations avec ln

Le programme prévoit d'utiliser les propriétés de l'exponentielle et du logarithme pour résoudre un problème ⁵. Les calculs reposent sur trois idées : le domaine, la stricte croissance et la réciprocité.

DomaineArguments des ln strictement positifs
TransformerRegrouper en ln A = ln B ou ln A = k
ÉquivalenceA = B, ou A = e^k
RésoudreÉquation classique en x
VérifierGarder les solutions du domaine

Résoudre une équation avec ln · La vérification dans le domaine est la dernière étape.

Applications : seuils et valeurs approchées

Le logarithme sert à trouver à partir de quand une suite géométrique dépasse un seuil, car l'inconnue $n$ est dans un exposant.

Le logarithme aide aussi à encadrer la solution d'une équation qu'on ne sait pas résoudre exactement. Le programme prévoit de déterminer des valeurs approchées ou un encadrement d'une solution d'équation ², en s'appuyant sur le théorème des valeurs intermédiaires, admis, et son cas des fonctions strictement monotones ⁴.

ExempleÉquation ln x = 5 − x

On pose $g(x)=\ln x+x-5$ sur $]0\,;+\infty[$ . Résoudre l'équation revient à résoudre $g(x)=0$ .

$g$ est continue, et $g'(x)=\frac1x+1>0$ : elle est strictement croissante. Elle tend vers $-\infty$ en $0^+$ et vers $+\infty$ en $+\infty$ .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone ⁴, l'équation $g(x)=0$ a une seule solution $\alpha$ .

Pour l'encadrer : $g(3)=\ln3-2\approx-0{,}90<0$ et $g(4)=\ln4-1\approx0{,}39>0$ . Donc $3<\alpha<4$ .

Le tableau de variation d'une fonction strictement monotone suffit à déterminer le nombre de solutions d'une équation de ce type ⁴.

Exercices corrigés

Exercice 1 Équation avec deux logarithmes égaux

★☆☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x-3)=\ln(x+4)$ .

Indice 1

Commence par écrire les conditions pour que chaque logarithme existe.

Indice 2

Quand deux logarithmes sont égaux, que peux-tu dire de leurs arguments ?

Voir la correction pas à pas

Domaine : il faut $2x-3>0$ , soit $x>\frac32$ , et $x+4>0$ , soit $x>-4$ . Les deux conditions sont vérifiées pour $x>\frac32$ .
Comme ln est strictement croissante, $\ln A=\ln B\iff A=B$ . L'équation devient $2x-3=x+4$ .
On résout : $2x-x=4+3$ , donc $x=7$ .
Vérification : $7>\frac32$ , donc $7$ est dans le domaine. On a bien $\ln11=\ln11$ .

L'ensemble des solutions est $\{7\}$ . La vérification dans le domaine est ici automatique, mais elle reste obligatoire dans une rédaction.

Exercice 2 Une exponentielle à isoler

★★☆Environ 10 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1}=7$ , puis donne une valeur approchée de la solution à $10^{-3}$ près (on prendra $\ln7\approx1{,}9459$ ).

Indice 1

Le second membre est strictement positif : tu peux appliquer ln aux deux membres.

Indice 2

Rappelle-toi que $\ln(e^u)=u$ pour tout réel $u$ .

Voir la correction pas à pas

Le nombre $7$ est strictement positif, donc l'équation a une solution. On applique ln aux deux membres : $\ln\left(e^{2x-1}\right)=\ln7$ .
Comme $\ln(e^{u})=u$ , on obtient $2x-1=\ln7$ .
On isole $x$ : $2x=1+\ln7$ , donc $x=\dfrac{1+\ln7}{2}$ .
Valeur approchée : $x\approx\dfrac{1+1{,}9459}{2}=1{,}47295$ , soit $x\approx1{,}473$ .

La solution exacte est $x=\dfrac{1+\ln7}{2}$ , soit environ $1{,}473$ . Garde la valeur exacte dans la réponse, l'approximation n'est qu'un complément.

Exercice 3 Pente d'une tangente

★★☆Environ 10 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac13\,;+\infty\right[$ par $f(x)=\ln(3x+1)$ . Calcule $f'(x)$ , puis le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ .

Indice 1

Dérive $x\mapsto\ln(ax+b)$ avec la formule $\frac{a}{ax+b}$ .

Indice 2

Le coefficient directeur de la tangente en $x=2$ est $f'(2)$ .

Voir la correction pas à pas

Domaine : $3x+1>0\iff x>-\frac13$ , ce qui est bien l'intervalle donné.
Avec $a=3$ et $b=1$ : $f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}$ .
On calcule en $x=2$ : $f'(2)=\dfrac{3}{3\times2+1}=\dfrac37$ .
Le coefficient directeur est donc $\dfrac37\approx0{,}4286$ .

La tangente au point d'abscisse $2$ a pour coefficient directeur $\frac37$ . Comme $f'(x)>0$ sur tout l'intervalle, la fonction $f$ est strictement croissante.

Exercice 4 Le placement qui double

★★★Environ 15 min

Un capital placé rapporte $5\ \%$ par an : chaque année, il est multiplié par $1{,}05$ . Détermine le plus petit nombre entier $n$ d'années tel que le capital ait au moins doublé, c'est-à-dire $1{,}05^n\ge2$ . On donne $\ln2\approx0{,}6931$ et $\ln1{,}05\approx0{,}0488$ .

Indice 1

Applique ln aux deux membres de l'inéquation, puis utilise $\ln(a^n)=n\ln a$ .

Indice 2

Avant de diviser par $\ln1{,}05$ , détermine son signe.

Voir la correction pas à pas

Les deux membres de $1{,}05^n\ge2$ sont strictement positifs. Comme ln est strictement croissante, on peut l'appliquer sans changer le sens : $\ln(1{,}05^n)\ge\ln2$ .
Avec $\ln(a^n)=n\ln a$ : $n\ln1{,}05\ge\ln2$ .
Comme $1{,}05>1$ , on a $\ln1{,}05>\ln1=0$ . On peut diviser sans changer le sens : $n\ge\dfrac{\ln2}{\ln1{,}05}$ .
Calcul : $\dfrac{0{,}6931}{0{,}0488}\approx14{,}2$ . Le plus petit entier qui convient est $15$ .
Contrôle : $1{,}05^{14}\approx1{,}98<2$ et $1{,}05^{15}\approx2{,}08\ge2$ .

Il faut $15$ années pour que le capital ait au moins doublé. Le logarithme a permis de sortir $n$ de l'exposant, ce qu'aucune opération usuelle ne permet.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre ln et log ?

Le logarithme de base $b$ est la puissance à laquelle il faut élever $b$ pour obtenir un nombre ⁶. Le logarithme népérien, noté $\ln$ , correspond à la base $e$ ⁶. Le symbole $\log$ peut désigner une autre base selon le contexte : en informatique ou en théorie des nombres, il désigne souvent le logarithme népérien ⁶. Dans ce cours et dans le programme de mathématiques complémentaires, c'est toujours $\ln$ qu'on utilise ⁵.

À quoi sert le logarithme ?

Il sert à sortir une inconnue d'un exposant : résoudre $e^x=k$ , trouver à partir de quand une suite géométrique dépasse un seuil, ou encore transformer un produit en somme. Historiquement, cette dernière propriété a permis de remplacer des multiplications pénibles par des additions, grâce aux tables de logarithmes et à la règle à calcul ⁶.

Comment savoir si je dois vérifier le domaine ?

Dès qu'un $\ln$ apparaît dans une équation ou une inéquation, écris le domaine en premier : chaque argument de ln doit être strictement positif. Ensuite, à la fin, garde seulement les solutions qui sont dans ce domaine. Dans un exemple comme $\ln x+\ln(x-1)=\ln6$ , on trouve $x=3$ ou $x=-2$ ; seule $x=3$ convient.

Pourquoi ln est-elle strictement croissante ?

Sa dérivée est $\ln'(x)=\frac1x$ , qui est strictement positive pour tout $x>0$ ⁶. On peut aussi le voir par la réciproque : l'exponentielle est strictement croissante, donc sa courbe symétrique par rapport à $y=x$ est aussi croissante. Cette croissance permet de passer d'une inégalité $A<B$ à $\ln A<\ln B$ , et inversement, sans renverser le sens.

Pourquoi ln(a + b) ne se simplifie-t-il pas ?

Parce que le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en quoi que ce soit. Le test le plus rapide : avec $a=b=1$ , $\ln(1+1)=\ln2\neq0=\ln1+\ln1$ . Retiens la règle dans le bon sens : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , et l'expression $\ln a+\ln b$ se condense en $\ln(ab)$ .

Comment calculer la dérivée de ln ?

Le programme admet que ln est dérivable et demande de calculer sa dérivée ². On part de $e^{\ln x}=x$ , on dérive les deux côtés : $\ln'(x)\times e^{\ln x}=1$ , donc $\ln'(x)\times x=1$ et $\ln'(x)=\frac1x$ . Pour $\ln(ax+b)$ , on obtient $\frac{a}{ax+b}$ .

Sources

Programme visé : Programme de l'enseignement optionnel de mathématiques complémentaires de terminale générale · Bulletin officiel de l'Éducation nationale

Programme de l'enseignement optionnel de mathématiques complémentaires de terminale générale, Bulletin officiel de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Fonction logarithme, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme d'enseignement optionnel de mathématiques complémentaires, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques complémentaires, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe - Ressources pour l'enseignement de mathématiques complémentaires, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Logarithme, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Les propriétés algébriques : un produit devient une somme

Dérivée et variations de la fonction ln

Limites et courbe représentative

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