Fonction logarithme : exercices corrigés de Terminale (maths compl.)

On utilise $\ln a-\ln b=\ln\frac ab$ : $\ln 12-\ln 3=\ln\frac{12}{3}=\ln 4$.

On ajoute $\ln 2$ avec la propriété produit-somme : $\ln 4+\ln 2=\ln(4\times 2)=\ln 8$.

On reconnaît $8=2^3$, donc $\ln 8=3\ln 2$ : $A=3\ln 2$.

Valeur approchée : $A\approx 3\times 0{,}6931=2{,}0793$ ; avec la valeur plus précise de $\ln 2$, on obtient $A\approx 2{,}0794$.

Domaine : il faut $2x-1>0$, soit $x>\frac12$.

Comme ln est la réciproque de l'exponentielle, $\ln(2x-1)=2 \iff 2x-1=e^2$.

On isole $x$ : $x=\frac{e^2+1}{2}$.

Contrôle du domaine : $e^2>0$ donc $x>\frac12$, la solution convient.

Valeur approchée : $e^2\approx 7{,}3891$, donc $x\approx 4{,}1945$.

Pour $3x\ln x$, on applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=3x$, $u'=3$, $v=\ln x$, $v'=\frac1x$.

On obtient $(3x\ln x)'=3\ln x+3x\times\frac1x=3\ln x+3$.

On dérive $-2x$ : $-2$. Donc $f'(x)=3\ln x+3-2=3\ln x+1$.

On remplace $x$ par $e$ : $f'(e)=3\ln e+1=3\times 1+1=4$.

Domaine : $x-2>0$ et $10-x>0$, soit $2<x<10$.

ln étant strictement croissante, $\ln(x-2)\le\ln(10-x) \iff x-2\le 10-x$.

On résout : $2x\le 12$, soit $x\le 6$.

On croise avec le domaine : $2<x\le 6$. L'ensemble des solutions est $]2\,;6]$.

On pose $X=\ln x$ : l'équation devient $X^2-X-2=0$.

Discriminant : $\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-2)=9$, donc $X_1=\frac{1-3}{2}=-1$ et $X_2=\frac{1+3}{2}=2$.

On revient à $x$ : $\ln x=-1 \iff x=e^{-1}$ et $\ln x=2 \iff x=e^2$.

Les deux valeurs sont strictement positives, donc elles conviennent : $S=\{e^{-1}\,;e^{2}\}$.

La plus grande est $e^2\approx 7{,}3891$.

$g'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}$.

Sur $]0\,;+\infty[$, $x>0$ : le signe de $g'(x)$ est celui de $x-1$. Donc $g'(x)<0$ sur $]0\,;1[$, $g'(1)=0$ et $g'(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

$g$ est décroissante sur $]0\,;1]$ puis croissante sur $[1\,;+\infty[$ : elle admet un minimum en $x=1$.

$g(1)=1-\ln 1=1-0=1$. Le minimum de $g$ vaut $1$.

Ainsi, pour tout $x>0$, $g(x)\ge 1$, c'est-à-dire $x-\ln x\ge 1$, soit $\ln x\le x-1$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1\,000\times1{,}03^n\ge 2\,000$, soit $1{,}03^n\ge 2$.

Les deux membres sont strictement positifs et ln est strictement croissante : $1{,}03^n\ge2 \iff \ln(1{,}03^n)\ge\ln 2$.

Avec $\ln(a^n)=n\ln a$, cela donne $n\ln 1{,}03\ge\ln 2$.

Comme $1{,}03>1$, on a $\ln 1{,}03>0$ : on divise sans changer le sens, $n\ge\frac{\ln 2}{\ln 1{,}03}$.

À la calculatrice, $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx 23{,}45$. Le plus petit entier convenable est $n=24$.

Vérification : $1{,}03^{23}\approx1{,}9736$ donne $1\,973{,}6$ euros (trop peu) et $1{,}03^{24}\approx2{,}0328$ donne $2\,032{,}8$ euros.

$h$ est dérivable sur $[2\,;3]$ et $h'(x)=\frac1x+1$. Sur cet intervalle $x>0$, donc $h'(x)>0$ : $h$ est strictement croissante.

$h(2)=\ln2+2-3=\ln 2-1\approx-0{,}307$ et $h(3)=\ln3+3-3=\ln 3\approx1{,}099$. Ainsi $h(2)<0<h(3)$.

$h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2\,;3]$, avec $0$ compris entre $h(2)$ et $h(3)$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions strictement monotones, l'équation $h(x)=0$ a une unique solution $\alpha\in[2\,;3]$.

$h(2{,}2)=\ln2{,}2+2{,}2-3\approx0{,}7885-0{,}8=-0{,}0115$, valeur négative. Plus précisément, avec la valeur exacte de $\ln 2{,}2$, on trouve $-0{,}0115$ à $10^{-4}$ près.

$h(2{,}3)=\ln2{,}3+2{,}3-3\approx0{,}8329-0{,}7=0{,}1329$, valeur positive.

Puisque $h(2{,}2)<0<h(2{,}3)$ et que $h$ est strictement croissante, $2{,}2<\alpha<2{,}3$.