Loi exponentielle : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ>0 quand sa densité est f(t)=λe−λt sur [0;+∞[.
P(X≤t)=1−e−λt et P(X>t)=e−λt pour t≥0.
L'espérance vaut E(X)=λ1 : le paramètre est l'inverse de la durée moyenne.
Absence de mémoire : PX>t(X>t+s)=P(X>s). Le phénomène ne s'use pas.
L'essentiel à retenir
Cette loi sert à modéliser une durée : temps entre deux appels téléphoniques, durée de vie d'un composant.2 Tu l'as rencontrée après la loi uniforme, autre loi à densité : ici, la densité n'est plus constante, elle décroît.
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Comme E(X)=λ1, on a λ=41=0,25. Prendre λ=4 revient à confondre le paramètre avec l'espérance, alors qu'il en est l'inverse.
P(X≤t)=1−e−λt, donc l'événement contraire X>t a pour probabilité e−λt. La réponse 1−e−λt correspond à P(X≤t) ; λe−λt est la densité, pas une probabilité.
C'est la propriété caractéristique : savoir que le phénomène a déjà duré t ne change pas la probabilité qu'il dure encore s. Penser le contraire reviendrait à supposer une usure, ce qui n'est pas le cas de cette loi.
P(X>2)=e−0,5×2=e−1≈0,368. Si tu trouves 0,632, tu as calculé P(X≤2)=1−e−1 au lieu de la probabilité demandée.
Les questions qu'on se pose
Comment reconnaître qu'un énoncé demande une loi exponentielle ?
L'énoncé parle d'une durée ou d'un temps d'attente (durée de vie d'un composant, temps entre deux appels)2 et précise souvent qu'il n'y a pas d'usure, ou que la loi est exponentielle de paramètre λ. Si l'énoncé donne la durée moyenne, tu en déduis λ=E(X)1.3
Peut-on utiliser la loi exponentielle pour un objet qui s'use ?
Seulement en première approximation. Une loi exponentielle décrit un phénomène sans vieillissement ; une ampoule à filament, par exemple, ne la suit qu'approximativement.3 Quand l'usure joue un rôle important, un autre modèle est préférable.